Bir uydu Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanırken yörünge yarıçapı ile ilgili aşağıdaki grafiklerden hangisi doğrudur?
I. Yörünge yarıçapı - Kinetik enerji grafiği
II. Yörünge yarıçapı - Potansiyel enerji grafiği
III. Yörünge yarıçapı - Bağlanma enerjisi grafiği
A) I artan, II artan, III azalan
B) I azalan, II artan, III azalan
C) I azalan, II azalan, III artan
D) I artan, II azalan, III artan
Bir uydunun Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanırken yörünge yarıçapı ($r$) ile kinetik enerji ($E_k$), potansiyel enerji ($E_p$) ve bağlanma enerjisi ($E_b$) arasındaki ilişkileri adım adım inceleyelim. Bu ilişkileri anlamak, yörünge mekaniğinin temel prensiplerini kavramak için çok önemlidir.
1. Kinetik Enerji ($E_k$) ve Yörünge Yarıçapı ($r$) İlişkisi:
- Bir uydu dairesel yörüngede dolanırken, üzerine etki eden kütle çekim kuvveti, merkeze doğru olan net kuvvet (merkezcil kuvvet) görevini görür.
- Kütle çekim kuvveti: $F_g = G \frac{M m}{r^2}$ (Burada $G$ evrensel çekim sabiti, $M$ Dünya'nın kütlesi, $m$ uydunun kütlesidir.)
- Merkezcil kuvvet: $F_c = m \frac{v^2}{r}$ (Burada $v$ uydunun yörünge hızıdır.)
- Bu iki kuvveti eşitlediğimizde: $G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$
- Buradan yörünge hızının karesini buluruz: $v^2 = G \frac{M}{r}$
- Kinetik enerji formülü: $E_k = \frac{1}{2} m v^2$
- $v^2$ ifadesini yerine koyarsak: $E_k = \frac{1}{2} m \left( G \frac{M}{r} \right)$
- Yani, $E_k = \frac{G M m}{2r}$
- Bu formülden de anlaşılacağı üzere, kinetik enerji ($E_k$) yörünge yarıçapı ($r$) ile ters orantılıdır. Yörünge yarıçapı ($r$) arttıkça, kinetik enerji ($E_k$) azalır.
2. Potansiyel Enerji ($E_p$) ve Yörünge Yarıçapı ($r$) İlişkisi:
- Kütle çekim potansiyel enerjisi, genellikle sonsuzda sıfır kabul edilerek tanımlanır ve negatif bir değer alır.
- Potansiyel enerji formülü: $E_p = -G \frac{M m}{r}$
- Bu formülde negatif işaretin olması önemlidir. Yörünge yarıçapı ($r$) arttıkça, $-G \frac{M m}{r}$ ifadesinin değeri sıfıra yaklaşır. Örneğin, $-10$ birimden $-5$ birime gelmek bir artıştır (daha az negatif olur).
- Dolayısıyla, yörünge yarıçapı ($r$) arttıkça, potansiyel enerji ($E_p$) artar.
3. Bağlanma Enerjisi ($E_b$) ve Yörünge Yarıçapı ($r$) İlişkisi:
- Bağlanma enerjisi, bir sistemin toplam mekanik enerjisinin mutlak değeri olarak veya sistemi bir arada tutan enerji olarak tanımlanır. Bir uydu için bu, uyduyu yörüngeden kurtarıp sonsuza götürmek için verilmesi gereken enerjiye eşittir.
- Toplam mekanik enerji ($E_{toplam}$), kinetik enerji ile potansiyel enerjinin toplamıdır: $E_{toplam} = E_k + E_p$
- Yukarıda bulduğumuz ifadeleri yerine koyalım: $E_{toplam} = \frac{G M m}{2r} + \left( -G \frac{M m}{r} \right)$
- Ortak paydada toplarsak: $E_{toplam} = \frac{G M m}{2r} - \frac{2 G M m}{2r} = -\frac{G M m}{2r}$
- Bağlanma enerjisi ($E_b$) genellikle pozitif bir değer olarak ifade edilir ve toplam enerjinin negatifine eşittir: $E_b = -E_{toplam}$
- Yani, $E_b = - \left( -\frac{G M m}{2r} \right) = \frac{G M m}{2r}$
- Bu formülden de anlaşılacağı üzere, bağlanma enerjisi ($E_b$) yörünge yarıçapı ($r$) ile ters orantılıdır. Yörünge yarıçapı ($r$) arttıkça, bağlanma enerjisi ($E_b$) azalır.
Sonuç olarak:
- I. Yörünge yarıçapı - Kinetik enerji grafiği: Azalan
- II. Yörünge yarıçapı - Potansiyel enerji grafiği: Artan
- III. Yörünge yarıçapı - Bağlanma enerjisi grafiği: Azalan
Bu durum, seçeneklerdeki B) I azalan, II artan, III azalan ifadesi ile uyuşmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
