Soru:
Kütlesi \( m = 500 \text{ kg} \) olan bir uydu, Dünya'nın (kütlesi \( M = 6 \times 10^{24} \text{ kg} \)) etrafında \( r = 2.0 \times 10^7 \text{ m} \) yarıçaplı dairesel bir yörüngede dolanmaktadır. (\( G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2 \))
a) Uydunun bu yörüngedeki toplam mekanik enerjisini bulunuz.
b) Bu uyduyu Dünya'dan sonsuz uzağa götürmek için verilmesi gereken minimum enerjiyi (bağlanma enerjisini) bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir uydunun yörüngedeki toplam mekanik enerjisi kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamıdır. Bağlanma enerjisi ise onu yörüngeden kurtarmak için gereken enerjidir.
- ➡️ a) Toplam Mekanik Enerjiyi Bulma
Dairesel yörüngedeki bir uydunun toplam mekanik enerjisi formülü: \( E = -\frac{GMm}{2r} \).
Değerleri yerine koyalım:
\( E = -\frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24}) \times 500}{2 \times (2.0 \times 10^7)} \)
Pay kısmını hesaplayalım: \( (6.67 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24}) = 4.002 \times 10^{14} \)
\( 4.002 \times 10^{14} \times 500 = 2.001 \times 10^{17} \)
Payda: \( 2 \times (2.0 \times 10^7) = 4.0 \times 10^7 \)
\( E = -\frac{2.001 \times 10^{17}}{4.0 \times 10^7} = -5.0025 \times 10^9 \text{ J} \)
Yani \( E \approx -5.00 \times 10^9 \text{ J} \).
- ➡️ b) Bağlanma Enerjisini Bulma
Bağlanma enerjisi, toplam mekanik enerjinin mutlak değeridir! Çünkü uyduyu yörüngeden kurtarmak için onun negatif olan toplam enerjisini sıfıra (sonsuzdaki enerji seviyesine) çıkarmamız gerekir.
\( E_{\text{bağ}} = |E| = 5.00 \times 10^9 \text{ J} \).
✅ Sonuç: a) Uydunun toplam mekanik enerjisi -5.00 x 10⁹ J'dir. b) Bu uyduyu Dünya'dan kurtarmak için gereken minimum enerji (bağlanma enerjisi) 5.00 x 10⁹ J'dir.
