Soru:
Dünya etrafında dairesel bir yörüngede dolanan iki uydudan A uydusunun yörünge yarıçapı \( r \), B uydusunun yörünge yarıçapı ise \( 2r \)'dir. Bu iki uydu için aşağıdaki büyüklüklerin oranlarını bulunuz:
- a) Yörünge Hızları Oranı (\( v_A / v_B \))
- b) Açısal Hızları Oranı (\( \omega_A / \omega_B \))
- c) Bağlanma Enerjileri Oranı (\( E_{bA} / E_{bB} \))
Çözüm:
💡 Bu soruda, yörünge yarıçaplarına bağlı olarak değişen fiziksel büyüklüklerin oranlarını inceleyeceğiz.
- ➡️ a) Yörünge Hızları Oranı
Yörünge hızı formülü: \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \). Hız, yarıçapın karekökü ile ters orantılıdır.
\( \frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{2r}{r}} = \sqrt{2} \)
- ➡️ b) Açısal Hızları Oranı
Açısal hız, \( \omega = \frac{v}{r} \) veya \( \omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} \) şeklinde ifade edilir.
\( \frac{\omega_A}{\omega_B} = \sqrt{\frac{r_B^3}{r_A^3}} = \sqrt{\frac{(2r)^3}{r^3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
Ayrıca \( \omega = \frac{v}{r} \) formülünden de gidebiliriz:
\( \frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{v_A / r_A}{v_B / r_B} = \frac{v_A}{v_B} \times \frac{r_B}{r_A} = \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2} \)
- ➡️ c) Bağlanma Enerjileri Oranı
Bağlanma enerjisi \( E_b = \frac{GMm}{2r} \) formülü ile verilir. Aynı kütleli (\( m \)) uydular için enerji, yarıçap ile ters orantılıdır.
\( \frac{E_{bA}}{E_{bB}} = \frac{\frac{GMm}{2r_A}}{\frac{GMm}{2r_B}} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{2r}{r} = 2 \)
✅ Sonuç: a) \( \frac{v_A}{v_B} = \sqrt{2} \), b) \( \frac{\omega_A}{\omega_B} = 2\sqrt{2} \), c) \( \frac{E_{bA}}{E_{bB}} = 2 \).
