Soru:
Dünya'nın yarıçapı \( R = 6400 \text{ km} \) ve yerçekimi ivmesi \( g = 9.8 \text{ m/s}^2 \) olarak veriliyor. Dünya yüzeyinden \( h = 3600 \text{ km} \) yükseklikte dairesel bir yörüngede dolanan bir uydunun yörünge hızını (\( v \)) ve periyodunu (\( T \)) bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruyu çözmek için merkezcil kuvvetin kaynağının kütleçekim kuvveti olduğunu ve uydu hareket formüllerini kullanacağız.
- ➡️ 1. Adım: Toplam Yarıçapı Bulma
Uydu Dünya yüzeyinden 3600 km yüksekte. Dünya'nın yarıçapı 6400 km olduğuna göre, yörüngenin yarıçapı:
\( r = R + h = 6400 + 3600 = 10000 \text{ km} = 1.0 \times 10^7 \text{ m} \)
- ➡️ 2. Adım: Yörünge Hızını Bulma
Yörünge hızı formülü: \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \). \( GM \) ifadesini \( gR^2 \) olarak yazabiliriz çünkü \( g = \frac{GM}{R^2} \).
\( v = \sqrt{\frac{gR^2}{r}} = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{1.0 \times 10^7}} \)
Hesaplarsak:
\( v = \sqrt{\frac{9.8 \times 40.96 \times 10^{12}}{1.0 \times 10^7}} = \sqrt{\frac{401.408 \times 10^{12}}{1.0 \times 10^7}} = \sqrt{401.408 \times 10^{5}} \)
\( v \approx \sqrt{4.014 \times 10^{7}} \approx 6336 \text{ m/s} \)
- ➡️ 3. Adım: Periyodu Bulma
Periyot, bir tam tur için gereken süredir: \( T = \frac{2\pi r}{v} \).
\( T = \frac{2 \pi \times 1.0 \times 10^7}{6336} \approx \frac{6.283 \times 10^7}{6336} \approx 9916 \text{ s} \)
Bu saniyeyi saate çevirelim: \( T \approx \frac{9916}{3600} \approx 2.75 \text{ saat} \).
✅ Sonuç: Uydunun yörünge hızı yaklaşık 6336 m/s ve periyodu yaklaşık 2.75 saattir.
