Soru:
Dünya etrafında dairesel bir yörüngede dolanan iki uydudan A uydusunun yörünge yarıçapı \( r \), B uydusunun yörünge yarıçapı ise \( 4r \)'dir. Bu iki uydu için aşağıdaki büyüklüklerin oranlarını bulunuz:
- a) Yörünge Hızları Oranı (\( v_A / v_B \))
- b) Periyotlar Oranı (\( T_A / T_B \))
- c) Bağlanma Enerjileri Oranı (\( E_{bA} / E_{bB} \))
Çözüm:
💡 Bu soruda temel formülleri kullanarak oranları bulacağız. Formüllerin yarıçapa (\( r \)) bağlılığına dikkat edelim.
- ➡️ a) Yörünge Hızları Oranı
Yörünge hızı: \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \). Hız, \( r \)'nin karekökü ile ters orantılıdır.
\( \frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{4r}{r}} = \sqrt{4} = 2 \).
Yani \( v_A / v_B = 2 \).
- ➡️ b) Periyotlar Oranı
Periyot için Kepler'in 3. Yasasını kullanabiliriz: \( T^2 \propto r^3 \), yani \( T \propto r^{3/2} \).
\( \frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2} = \left( \frac{r}{4r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{4} \right)^{3/2} = \left( 4^{-1} \right)^{3/2} = 4^{-3/2} = \frac{1}{4^{3/2}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
Yani \( T_A / T_B = 1/8 \). Daha büyük yörüngede dönen uydunun periyodu daha uzundur.
- ➡️ c) Bağlanma Enerjileri Oranı
Bağlanma enerjisi, toplam mekanik enerjinin mutlak değeridir. Toplam mekanik enerji: \( E = -\frac{GMm}{2r} \). Bağlanma enerjisi \( E_b = |E| = \frac{GMm}{2r} \) olur. Enerji, \( r \) ile ters orantılıdır.
\( \frac{E_{bA}}{E_{bB}} = \frac{\frac{GMm}{2r_A}}{\frac{GMm}{2r_B}} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{4r}{r} = 4 \).
Yani \( E_{bA} / E_{bB} = 4 \). Dünya'ya daha yakın olan uydunun bağlanma enerjisi daha büyüktür, onu kurtarmak daha zordur.
✅ Sonuç: a) \( v_A / v_B = 2 \), b) \( T_A / T_B = 1/8 \), c) \( E_{bA} / E_{bB} = 4 \).
