\( 2\sqrt{18} + 3\sqrt{50} - 4\sqrt{8} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 11\sqrt{2} \)Sevgili öğrenciler, bu tür köklü ifadeleri içeren işlemleri çözmek için öncelikle her bir köklü sayıyı en sade haline getirmemiz gerekir. Amacımız, tüm köklü sayıların kök içindeki kısmının (kök derecesi aynı olmak şartıyla) aynı olmasını sağlamaktır. Böylece katsayıları toplayıp çıkarabiliriz. Haydi adım adım ilerleyelim:
Kök içindeki $18$ sayısını, bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışalım. $18 = 9 \times 2$ olduğunu biliyoruz ve $9$ bir tam karedir ($3^2$).
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $ olur.
Şimdi bu değeri $ 2\sqrt{18} $ ifadesinde yerine koyarsak:
$ 2\sqrt{18} = 2 \times (3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} $ elde ederiz.
Kök içindeki $50$ sayısını, bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. $50 = 25 \times 2$ olduğunu biliyoruz ve $25$ bir tam karedir ($5^2$).
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $ olur.
Şimdi bu değeri $ 3\sqrt{50} $ ifadesinde yerine koyarsak:
$ 3\sqrt{50} = 3 \times (5\sqrt{2}) = 15\sqrt{2} $ elde ederiz.
Kök içindeki $8$ sayısını, bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. $8 = 4 \times 2$ olduğunu biliyoruz ve $4$ bir tam karedir ($2^2$).
$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ olur.
Şimdi bu değeri $ 4\sqrt{8} $ ifadesinde yerine koyarsak:
$ 4\sqrt{8} = 4 \times (2\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} $ elde ederiz.
Başlangıçtaki işlemimiz $ 2\sqrt{18} + 3\sqrt{50} - 4\sqrt{8} $ idi.
Sadeleştirmelerden sonra bu ifade şuna dönüştü:
$ 6\sqrt{2} + 15\sqrt{2} - 8\sqrt{2} $
Gördüğünüz gibi, tüm köklü ifadelerin kök içi $ \sqrt{2} $ oldu. Bu durumda, katsayıları kendi aralarında toplayıp çıkarabiliriz:
$ (6 + 15 - 8)\sqrt{2} $
$ (21 - 8)\sqrt{2} $
$ 13\sqrt{2} $
Böylece işlemin sonucunu $ 13\sqrt{2} $ olarak buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
