ABC üçgeninde m(∠A) = 110°, m(∠B) = 30°, m(∠C) = 40° dir. Bu üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktası hangi köşeye en yakındır?
A) A köşesi
B) B köşesi
C) C köşesi
D) Üç köşeye de eşit uzaklıktadır
Bu soruda, bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktası olan diklik merkezinin (ortosantr), üçgenin hangi köşesine en yakın olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Üçgenin Açılarının İncelenmesi ve Üçgen Türünün Belirlenmesi
- Bize verilen açılar: $m(\angle A) = 110^\circ$, $m(\angle B) = 30^\circ$, $m(\angle C) = 40^\circ$.
- Bir üçgende bir açının $90^\circ$'den büyük olması, o üçgenin geniş açılı üçgen olduğunu gösterir. Burada $m(\angle A) = 110^\circ$ olduğu için ABC üçgeni geniş açılı bir üçgendir ve geniş açı A köşesindedir.
- Adım 2: Diklik Merkezinin Tanımı ve Özellikleri
- Bir üçgende, her bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dikmelere yükseklik denir. Bu üç yüksekliğin kesişim noktasına ise diklik merkezi (ortosantr) adı verilir.
- Diklik merkezinin konumu, üçgenin türüne göre değişir:
- Dar Açılı Üçgenlerde: Diklik merkezi üçgenin içindedir.
- Dik Açılı Üçgenlerde: Diklik merkezi, dik açının olduğu köşededir.
- Geniş Açılı Üçgenlerde: Diklik merkezi üçgenin dışındadır.
- Adım 3: Geniş Açılı Üçgende Diklik Merkezinin Konumu
- Bizim üçgenimiz geniş açılı olduğu için diklik merkezi üçgenin dışındadır.
- Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi, geniş açının olduğu köşeye en yakın konumda bulunur. Yani, geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi, geniş açının olduğu köşenin "arkasında" yer alır.
- Bu durumda, $A$ köşesi geniş açı ($110^\circ$) olduğu için, diklik merkezi üçgenin dışında ve $A$ köşesine en yakın konumda olacaktır.
- Adım 4: Sonuç
- ABC üçgeni geniş açılı bir üçgen olup, geniş açı A köşesindedir. Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi, geniş açının olduğu köşeye en yakın konumda bulunur. Bu nedenle, yüksekliklerin kesişim noktası (diklik merkezi) A köşesine en yakındır.
Cevap A seçeneğidir.
