Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür üslü sayı sorularında amacımız, tüm sayıları aynı tabanda yazarak işlemleri kolaylaştırmaktır. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:
- Öncelikle, verilen ifadelerdeki tüm sayıları en küçük ortak taban olan $5$ tabanında yazmaya çalışalım.
- Zaten $5^8$ ifadesi $5$ tabanındadır.
- $25$ sayısını $5$ tabanında yazarsak, $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$ olur. O zaman $25^2 = (5^2)^2$ şeklinde yazılır.
- $125$ sayısını $5$ tabanında yazarsak, $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$ olur. O zaman $125^3 = (5^3)^3$ şeklinde yazılır.
- Şimdi, üslü sayılarda "üssün üssü" kuralını hatırlayalım: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Bu kuralı kullanarak ifadelerimizi düzenleyelim:
- $25^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$
- $125^3 = (5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9$
- Şimdi bu yeni ifadeleri sorudaki yerlerine yazalım:
- $ \frac{5^{8} \cdot 5^{4}}{5^{9}} $
- Sırada çarpma işlemi var. Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım:
- $5^8 \cdot 5^4 = 5^{8+4} = 5^{12}$
- Şimdi ifademiz şu hale geldi:
- $ \frac{5^{12}}{5^{9}} $
- Son olarak, üslü sayılarda bölme işlemi yaparken tabanlar aynıysa payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. Bu kuralı uygulayalım:
- $ \frac{5^{12}}{5^{9}} = 5^{12-9} = 5^3 $
- Sonucumuz $5^3$. Bu değeri hesaplayalım:
- $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$
- Böylece işlemin sonucunu $125$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
