$(p \land q) \land \neg(p \lor q)$ önermesi için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Totolojidir
B) Çelişkidir
C) Tutarlıdır
D) Doğruluk değeri p ve q'ya bağlıdır
Bu soruda, verilen önermenin bir totoloji mi, çelişki mi, yoksa tutarlı bir önerme mi olduğunu bulmamız isteniyor. Bunun için önermeyi adım adım basitleştirelim veya doğruluk tablosu oluşturabiliriz. Basitleştirme yolu genellikle daha hızlı ve pratiktir.
- Öncelikle verilen önermeyi yazalım: $(p \land q) \land \neg(p \lor q)$
- Şimdi, önermenin ikinci kısmındaki $\neg(p \lor q)$ ifadesini De Morgan Kuralları'nı kullanarak açalım. De Morgan Kuralları'na göre $\neg(A \lor B)$ ifadesi $\neg A \land \neg B$ ifadesine denktir.
- Bu kuralı uyguladığımızda, $\neg(p \lor q)$ ifadesi $\neg p \land \neg q$ şekline dönüşür.
- Şimdi bu yeni ifadeyi orijinal önermemize yerine yazalım: $(p \land q) \land (\neg p \land \neg q)$
- Bu ifadeyi daha iyi görebilmek için bağlaçların birleşme (associativity) ve değişme (commutativity) özelliklerini kullanarak terimleri yeniden düzenleyebiliriz. Tüm bağlaçlar $\land$ (ve) olduğu için parantezleri kaldırıp istediğimiz gibi gruplayabiliriz: $p \land q \land \neg p \land \neg q$
- Şimdi benzer terimleri bir araya getirelim: $(p \land \neg p) \land (q \land \neg q)$
- Mantıkta, bir önerme ile o önermenin değili (olumsuzu) arasındaki "ve" ($ \land $) işlemi her zaman yanlış bir sonuç verir. Yani, $p \land \neg p$ ifadesi her zaman yanlıştır (çelişkidir). Aynı şekilde, $q \land \neg q$ ifadesi de her zaman yanlıştır.
- Bu durumda, ifademiz şu hale gelir: (Yanlış) $\land$ (Yanlış)
- Mantıkta, iki yanlış önermenin "ve" ($ \land $) işlemi de her zaman yanlıştır. Yani, $Y \land Y$ ifadesi $Y$ (Yanlış) sonucunu verir.
- Sonuç olarak, verilen $(p \land q) \land \neg(p \lor q)$ önermesi, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerlerinden bağımsız olarak her zaman yanlış bir önermedir.
- Her zaman yanlış olan önermelere Çelişki denir.
Bu nedenle, doğru cevap B seçeneğidir.
