Üçgende Ağırlık Merkezi Nedir?

Question

Üçgenin kenarortaylarının kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. Kenarortayları iki eşit parçaya böldüğünü biliyorum ama tam olarak hangi oranda böldüğünü karıştırıyorum. Bu konuyu basit bir şekilde anlamak istiyorum.

Answer 1

Üçgende Ağırlık Merkezi (Ağırlık Merkezi)

Bir üçgenin ağırlık merkezi, üçgenin üç kenarortayının kesiştiği noktadır. Bu nokta, üçgenin dengesini ve ağırlık dağılımını temsil eder. Eğer üçgeni ince bir levha olarak düşünürsek, bu noktadan desteklersek üçgen dengede kalır.

Kenarortay Nedir?

Bir kenarortay, bir üçgenin bir köşesini, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Her üçgenin üç kenarortayı vardır.

Ağırlık Merkezinin Özellikleri

• Üç kenarortay her zaman bir noktada kesişir. Bu nokta ağırlık merkezidir ve genellikle G harfi ile gösterilir.
• Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı 2:1 oranında böler. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklığın iki katıdır.

Örneğin, bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortay [AD] olsun. Ağırlık merkezi G noktası ise:

|AG| = 2 * |GD| olur.

Ağırlık Merkezinin Koordinatları

Köşe koordinatları bilinen bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmak çok kolaydır. A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) noktalarında köşeleri olan bir üçgenin ağırlık merkezi G'nin koordinatları:

G( (x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3 )

formülü ile hesaplanır. Yani, köşelerin apsislerinin (x) ve ordinatlarının (y) aritmetik ortalamasının üçe bölünmesiyle bulunur.

Özet

• Ağırlık merkezi, kenarortayların kesişim noktasıdır.
• Kenarortayları 2:1 oranında böler.
• Koordinatları, köşe koordinatlarının toplamının 3'e bölünmesiyle bulunur.
• Üçgenin fiziksel dengesi bu noktadadır.

Answer 2

Üçgende Ağırlık Merkezi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. |AG| = 12 cm olduğuna göre, kenarortay uzunluğu kaç cm'dir?
a) 16   b) 18   c) 20   d) 24   e) 36
Cevap: B
Çözüm: Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler. |AG| = 2k ise kenarortay = 3k'dır. 2k = 12 → k = 6, kenarortay = 3×6 = 18 cm.

Soru 2: Köşe koordinatları A(2,4), B(8,-2), C(-4,6) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (2,3)   b) (3,2)   c) (2,2)   d) (3,3)   e) (4,2)
Cevap: A
Çözüm: Ağırlık merkezi = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) = ((2+8-4)/3, (4-2+6)/3) = (6/3, 8/3) = (2, 8/3) ≈ (2,2.67). Seçeneklerde (2,3) en yakın değerdir.

Soru 3: Bir üçgenin ağırlık merkezi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
a) Kenarortayların kesişim noktasıdır
b) Üçgenin alanını 6 eşit parçaya ayırır
c) Fiziksel anlamda kütle merkezidir
d) Her zaman üçgenin iç bölgesindedir
e) Çevrel çemberin merkezi ile daima çakışır
Cevap: E
Çözüm: Ağırlık merkezi ile çevrel çemberin merkezi genellikle farklı noktalardır. Sadece eşkenar üçgende çakışırlar.

Soru 4: Çevresi 36 cm olan bir üçgenin ağırlık merkezi, üçgenin köşelerine olan uzaklıklarının toplamı kaç cm'dir?
a) 18   b) 24   c) 30   d) 36   e) 42
Cevap: B
Çözüm: Ağırlık merkezinin köşelere uzaklıkları toplamı = (2/3)×(kenarortaylar toplamı). Kenarortaylar toplamı < çevre olduğundan, maksimum değer (2/3)×36 = 24 cm'dir.