Görüntü kümesi nedir?

Question

Fonksiyon grafiğini çizerken x eksenindeki değerleri kullanıyorum ama y eksenindeki çıktıların tam olarak ne ifade ettiğini karıştırıyorum. Özellikle fonksiyonda x yerine sayılar koyduğumda elde ettiğim y değerlerinin nasıl bir küme oluşturduğunu anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

Görüntü Kümesi Nedir?

Matematikte, özellikle fonksiyonlar konusunda, görüntü kümesi (veya range) önemli bir kavramdır. Bir fonksiyonun görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği tüm çıktı değerlerinin oluşturduğu kümedir.

Tanım

f: A → B şeklinde tanımlı bir fonksiyon düşünelim. Burada A kümesine tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir.

Görüntü kümesi ise, tanım kümesindeki tüm elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümedir. Yani, A'daki her x elemanı için f(x) değerlerinin tümünün oluşturduğu kümedir ve genellikle f(A) ile gösterilir.

Matematiksel olarak ifade edersek:

f(A) = { f(x) | x ∈ A }

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: f: ℝ → ℝ, f(x) = x² fonksiyonunu ele alalım.

• Tanım Kümesi: Tüm gerçek sayılar (ℝ)
• Değer Kümesi: Tüm gerçek sayılar (ℝ)
• Görüntü Kümesi: [0, ∞) (Sıfır ve pozitif gerçek sayılar)

Bu örnekte, değer kümesi ile görüntü kümesinin farklı olduğuna dikkat edin. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir.

Örnek 2: g: {1, 2, 3} → ℝ, g(x) = 2x fonksiyonunu ele alalım.

• Tanım Kümesi: {1, 2, 3}
• Görüntü Kümesi: {2, 4, 6}

Önemli Noktalar

• Görüntü kümesi, fonksiyonun gerçekten aldığı değerlerden oluşur.
• Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir.
• Bir fonksiyonun örten olması için, görüntü kümesinin değer kümesine eşit olması gerekir.
• Görüntü kümesini bulmak için, tanım kümesindeki tüm elemanların fonksiyon altındaki değerlerini bulmak gerekir.