İki aralığın birleşimi nasıl bulunur Test 2

\( C = (-\infty, 4] \) ve \( D = [0, 7) \) kümeleri veriliyor. \( C \cup D \) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( [0, 4] \)
B) \( (-\infty, 7) \)
C) \( (-\infty, 7] \)
D) \( [0, 7) \)

Bu soruda, verilen iki aralık kümesinin birleşimini ($ C \cup D $) bulmamız isteniyor. Adım adım bu işlemi nasıl yapacağımızı inceleyelim:

• 1. Kümeleri Anlayalım:

  $ C = (-\infty, 4] $ kümesi, eksi sonsuzdan başlayıp 4 dahil olmak üzere tüm gerçek sayıları içerir. Köşeli parantez $ [ $ veya $ ] $ o sayının kümeye dahil olduğunu, yuvarlak parantez $ ( $ veya $ ) $ ise o sayının kümeye dahil olmadığını gösterir. Bu durumda, $ C $ kümesi 4'ten küçük veya 4'e eşit olan tüm sayılardan oluşur.

  $ D = [0, 7) $ kümesi ise 0 dahil olmak üzere, 7 hariç olmak üzere 0 ile 7 arasındaki tüm gerçek sayıları içerir. Yani 0'dan büyük veya 0'a eşit olan ve aynı zamanda 7'den küçük olan tüm sayılar bu kümededir.

• 2. Birleşim ($ \cup $) İşlemini Hatırlayalım:

  İki kümenin birleşimi ($ \cup $), her iki kümede bulunan tüm elemanları içeren yeni bir kümedir. Yani, $ C \cup D $ kümesi, $ C $ kümesindeki elemanlarla $ D $ kümesindeki elemanların hepsini bir araya getirdiğimizde oluşan kümedir. Kısacası, birleşim kümesi, elemanların en soldaki sınırından en sağdaki sınırına kadar uzanır.

• 3. Sayı Doğrusunda Görselleştirelim:

  Bu tür aralık problemlerini sayı doğrusu üzerinde düşünmek veya çizmek çok faydalıdır.

  • $ C = (-\infty, 4] $ kümesi, sayı doğrusunda sol taraftan (sonsuzdan) gelip 4 noktasında kapanan (4 dahil) bir aralıktır.
  • $ D = [0, 7) $ kümesi ise sayı doğrusunda 0 noktasından başlayıp (0 dahil) 7 noktasına kadar (7 hariç) uzanan bir aralıktır.

• 4. Kümeleri Birleştirelim:

  Birleşim kümesinin başlangıç noktası, iki kümenin en soldaki başlangıç noktasıdır. $ C $ kümesi $ -\infty $ 'dan başladığı için, birleşim kümesi de $ -\infty $ 'dan başlayacaktır.

  Birleşim kümesinin bitiş noktası, iki kümenin en sağdaki bitiş noktasıdır. $ C $ kümesi 4'te biterken, $ D $ kümesi 7'ye kadar gider (7 hariç). Bu durumda, birleşim kümesi 7'ye kadar gitmelidir.

  7 noktası $ D $ kümesinde dahil olmadığı için (açık aralık), birleşim kümesinde de dahil olmayacaktır. Çünkü birleşim kümesinde bir elemanın olması için en az bir kümede bulunması yeterlidir, ancak 7 sayısı hiçbir kümede tam olarak bulunmadığı için birleşimde de bulunmaz.

• 5. Sonuç Kümesini Yazalım:

  Yukarıdaki adımları birleştirdiğimizde, $ C \cup D $ kümesi $ -\infty $ 'dan 7'ye kadar olan tüm sayıları içerir ve 7 dahil değildir. Bu da $ (-\infty, 7) $ şeklinde gösterilir.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $ (-\infty, 7) $ ifadesi B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.