\( K = (-5, -1) \) ve \( L = [-3, 2) \) kümeleri veriliyor. \( K \cup L \) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-5, 2) \)
B) \( [-5, 2] \)
C) \( (-5, -1) \)
D) \( [-3, 2) \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle kümelerde birleşim işlemini, özellikle aralıklar (interval) şeklinde verilen kümeler üzerinde nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz. Sorumuzda verilen kümeler:
- $ K = (-5, -1) $ kümesi: Bu küme, $-5$ ile $-1$ arasındaki tüm gerçek sayıları içerir. Ancak $-5$ ve $-1$ sayıları bu kümeye dahil değildir. Matematiksel olarak $ \{x \in \mathbb{R} \mid -5 < x < -1\} $ şeklinde ifade edilir.
- $ L = [-3, 2) $ kümesi: Bu küme, $-3$ ile $2$ arasındaki tüm gerçek sayıları içerir. $-3$ sayısı bu kümeye dahil iken, $2$ sayısı bu kümeye dahil değildir. Matematiksel olarak $ \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \le x < 2\} $ şeklinde ifade edilir.
Bizden istenen $ K \cup L $ kümesi, yani $K$ ve $L$ kümelerindeki tüm elemanları bir araya getiren kümedir. Bunu en iyi şekilde bir sayı doğrusu üzerinde görselleştirerek anlayabiliriz.
- Öncelikle, $ K = (-5, -1) $ kümesini sayı doğrusunda işaretleyelim. $-5$ noktasında içi boş bir daire, $-1$ noktasında içi boş bir daire çizeriz ve bu iki nokta arasını bir çizgiyle birleştiririz.
- Ardından, $ L = [-3, 2) $ kümesini aynı sayı doğrusunda işaretleyelim. $-3$ noktasında içi dolu bir daire (çünkü $-3$ dahil), $2$ noktasında içi boş bir daire (çünkü $2$ dahil değil) çizeriz ve bu iki nokta arasını bir çizgiyle birleştiririz.
Şimdi bu iki aralığı sayı doğrusunda üst üste düşündüğümüzde, hangi bölgenin tamamının kaplandığına bakalım:
- En soldaki başlangıç noktamız $K$ kümesinden gelir: $ -5 $. Bu nokta $K$ kümesine dahil olmadığı için, birleşim kümesine de dahil olmayacaktır. Bu yüzden parantezimiz $ ( $ ile başlayacak.
- En sağdaki bitiş noktamız $L$ kümesinden gelir: $ 2 $. Bu nokta $L$ kümesine dahil olmadığı için, birleşim kümesine de dahil olmayacaktır. Bu yüzden parantezimiz $ ) $ ile bitecek.
- Şimdi aradaki boşlukları kontrol edelim: $ K $ kümesi $ (-5, -1) $ aralığını kapsar. $ L $ kümesi $ [-3, 2) $ aralığını kapsar. Dikkat edersek, $ -3 $ sayısı hem $K$ ($ -5 < -3 < -1 $) hem de $L$ ($ -3 \le -3 < 2 $) kümelerinde yer alır. Ayrıca, $ -1 $ sayısı $K$ kümesinde yer almazken, $L$ kümesinde yer alır ($ -3 \le -1 < 2 $). Bu durum, iki aralık arasında herhangi bir boşluk olmadığını ve birleşimin kesintisiz bir aralık oluşturduğunu gösterir. Yani, $ -5 $ noktasından başlayıp $ 2 $ noktasına kadar olan tüm sayılar (uç noktalar hariç) birleşim kümesinde yer alacaktır.
Sonuç olarak, $ K \cup L $ kümesi, $ -5 $ ile $ 2 $ arasındaki tüm gerçek sayıları içerir ve bu uç noktalar kümeye dahil değildir.
Bu da $ (-5, 2) $ aralığına karşılık gelir.
Cevap A seçeneğidir.
