Bir mağazada satılan ürün sayısı ile kâr arasındaki ilişki doğrusal grafikle, aynı mağazadaki müşteri memnuniyeti ile kâr arasındaki ilişki ise parabolik grafikle gösterilmektedir. Doğrusal grafikte 100 ürün satışında 500 TL kâr elde edilirken, 200 ürün satışında 1000 TL kâr elde ediliyor. Parabolik grafikte ise maksimum kâr 1200 TL olarak ölçülüyor. Bu iki grafik karşılaştırıldığında hangi ürün satış sayısında her iki grafiğin gösterdiği kâr değeri eşit olur?
A) 150 ürün
B) 180 ürün
C) 240 ürün
D) 300 ürün
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, iki farklı kâr ilişkisini inceleyeceğiz: biri doğrusal, diğeri parabolik. Amacımız, hangi ürün satış sayısında bu iki farklı kâr değerinin eşitlendiğini bulmak. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim.
-
Adım 1: Doğrusal Kâr Fonksiyonunu Belirleyelim
- Öncelikle, ürün satış sayısını $x$ ile, elde edilen kârı ise $K(x)$ ile gösterelim.
- Doğrusal grafikte verilen bilgilere göre, iki noktamız var: $(100 \text{ ürün}, 500 \text{ TL kâr})$ ve $(200 \text{ ürün}, 1000 \text{ TL kâr})$.
- Doğrusal bir fonksiyonun genel denklemi $K_L(x) = mx + c$ şeklindedir, burada $m$ eğim ve $c$ y-kesenidir.
- Eğimi ($m$) hesaplayalım:
$m = \frac{\text{Kâr Değişimi}}{\text{Ürün Değişimi}} = \frac{1000 \text{ TL} - 500 \text{ TL}}{200 \text{ ürün} - 100 \text{ ürün}} = \frac{500}{100} = 5$.
- Şimdi $m=5$ değerini ve verilen noktalardan birini (örneğin $(100, 500)$) kullanarak $c$ değerini bulalım:
$500 = 5 \times 100 + c$
$500 = 500 + c$
$c = 0$.
- Böylece, doğrusal kâr fonksiyonumuz $K_L(x) = 5x$ olarak belirlenir. Bu, satılan her ürün başına 5 TL kâr edildiği anlamına gelir.
-
Adım 2: Parabolik Kâr Fonksiyonunu Yorumlayalım
- Parabolik grafikte maksimum kârın 1200 TL olduğu belirtiliyor. Bir parabolün maksimum değeri, onun tepe noktasının y-koordinatıdır. Yani, parabolün tepe noktasının y-koordinatı $k=1200$'dür.
- Parabolün genel denklemi $K_P(x) = a(x-h)^2 + k$ şeklindedir, burada $(h, k)$ tepe noktasıdır. Bu durumda $K_P(x) = a(x-h)^2 + 1200$.
- Parabolün maksimum değeri olduğu için, $a$ katsayısı negatif olmalıdır (parabol aşağı doğru açılır).
- Soruda parabolün tepe noktasının x-koordinatı ($h$) veya başka bir noktası doğrudan verilmemiştir. Ancak, her iki grafiğin kâr değerinin eşit olduğu ürün satış sayısını bulmamız isteniyor. Bu, parabolün x-ekseninin de "ürün satış sayısı" olduğunu varsaymamız gerektiği anlamına gelir.
-
Adım 3: Eşit Kâr Değerini Bulmak İçin Seçenekleri Değerlendirelim
- Bizden $K_L(x) = K_P(x)$ eşitliğini sağlayan $x$ değerini bulmamız isteniyor.
- Doğrusal kâr fonksiyonumuz $K_L(x) = 5x$ idi. Şimdi seçeneklerdeki ürün satış sayılarını bu fonksiyonda yerine koyarak kâr değerlerini bulalım:
- A) 150 ürün: $K_L(150) = 5 \times 150 = 750$ TL
- B) 180 ürün: $K_L(180) = 5 \times 180 = 900$ TL
- C) 240 ürün: $K_L(240) = 5 \times 240 = 1200$ TL
- D) 300 ürün: $K_L(300) = 5 \times 300 = 1500$ TL
- Parabolik grafikteki maksimum kârın 1200 TL olduğunu hatırlayalım.
- C seçeneğindeki 240 ürün satışında doğrusal kâr 1200 TL oluyor. Bu değer, parabolün maksimum kâr değeriyle aynıdır!
- Bu durum, parabolün tepe noktasının $x=240$ ürün satışında olduğunu, yani tepe noktasının $(240, 1200)$ olduğunu güçlü bir şekilde işaret eder.
- Eğer parabolün tepe noktası $(240, 1200)$ ise, $K_P(240) = a(240-240)^2 + 1200 = a(0)^2 + 1200 = 1200$ TL olur.
- Bu durumda, $x=240$ ürün satışında hem doğrusal kâr ($K_L(240) = 1200$ TL) hem de parabolik kâr ($K_P(240) = 1200$ TL) birbirine eşit olur.
-
Adım 4: Sonucu Doğrulayalım
- Doğrusal kâr fonksiyonu: $K_L(x) = 5x$.
- Parabolik kâr fonksiyonu (tepe noktası $(240, 1200)$ kabul edilirse): $K_P(x) = a(x-240)^2 + 1200$.
- $x=240$ için her iki fonksiyonun kâr değerini hesaplayalım:
- $K_L(240) = 5 \times 240 = 1200$ TL.
- $K_P(240) = a(240-240)^2 + 1200 = a(0)^2 + 1200 = 1200$ TL.
- Görüldüğü gibi, 240 ürün satışında her iki grafiğin gösterdiği kâr değeri 1200 TL olarak eşitlenmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
