36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(2^2 \times 3^2\) şeklindedir. Buna göre 36'nın pozitif bölen sayısı kaçtır?
A) 636 sayısının pozitif bölen sayısını bulmak için asal çarpanlarına ayrılmış halini kullanacağız. İşte adım adım çözüm:
Asal Çarpanlara Ayırma: Soruda 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halinin $2^2 \times 3^2$ olduğu belirtilmiştir. Bu ifade, 36 sayısının 2 ve 3 asal sayılarının belirli kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazıldığını gösterir. Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı oluşturan en küçük yapı taşlarını (asal sayıları) bulmaktır.
Pozitif Bölen Sayısı Kuralı: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif bölen sayısı, her bir asal çarpanın kuvvetine 1 eklenip bu yeni değerlerin çarpılmasıyla bulunur. Yani, pozitif bölen sayısı $(a_1+1) \times (a_2+1) \times ... \times (a_k+1)$ formülüyle hesaplanır.
Kuralı Uygulayalım: 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^2 \times 3^2$ şeklindedir. Bu ifadeyi genel formülle karşılaştıralım:
Burada, birinci asal çarpan 2'nin kuvveti $a_1 = 2$'dir.
İkinci asal çarpan 3'ün kuvveti $a_2 = 2$'dir.
Hesaplama: Pozitif bölen sayısını bulmak için her bir asal çarpanın kuvvetine 1 ekleyip bu yeni değerleri çarpalım:
Birinci asal çarpanın kuvvetine 1 eklersek: $(2+1) = 3$ olur.
İkinci asal çarpanın kuvvetine 1 eklersek: $(2+1) = 3$ olur.
Bu değerleri çarptığımızda 36 sayısının pozitif bölen sayısını buluruz: $3 \times 3 = 9$.
Yani, 36 sayısının 9 tane pozitif böleni vardır. (Bu bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır.)
Cevap C seçeneğidir.
