9. Sınıf Alt Küme ve Alt Küme Sayısı Nedir? Test 2

Alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle bir kümenin alt küme sayısı ve öz alt küme sayısı kavramlarını hatırlamamız gerekiyor. Ardından, verilen bilgiyi matematiksel bir denkleme dönüştürüp adım adım çözeceğiz.

• 1. Adım: Alt Küme ve Öz Alt Küme Sayısı Formüllerini Hatırlayalım

  Bir kümenin eleman sayısını $n$ ile gösterelim.

  Bu kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.

  Bu kümenin öz alt küme sayısı ise alt küme sayısından 1 çıkarılarak bulunur, yani $2^n - 1$ formülü ile hesaplanır. (Çünkü kümenin kendisi, öz alt küme değildir.)

• 2. Adım: Verilen Bilgiyi Matematiksel Denkleme Dönüştürelim

  Soruda, alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamının 63 olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi formüllerimizle birleştirelim:

  Alt küme sayısı + Öz alt küme sayısı = 63

  $2^n + (2^n - 1) = 63$

• 3. Adım: Denklemi Çözelim

  Şimdi denklemi adım adım çözerek $n$ değerini bulalım:

  $2^n + 2^n - 1 = 63$

  Eşitliğin sol tarafındaki $2^n$ ifadelerini toplayalım:

  $2 \cdot 2^n - 1 = 63$

  Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$):

  $2^{n+1} - 1 = 63$

  $-1$ sayısını eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $2^{n+1} = 63 + 1$

  $2^{n+1} = 64$

• 4. Adım: Kümenin Eleman Sayısını Bulalım

  Şimdi $64$ sayısını 2'nin bir kuvveti olarak yazmalıyız:

  $2^1 = 2$

  $2^2 = 4$

  $2^3 = 8$

  $2^4 = 16$

  $2^5 = 32$

  $2^6 = 64$

  Gördüğümüz gibi $64 = 2^6$. O halde denklemimiz şu hale gelir:

  $2^{n+1} = 2^6$

  Tabanlar eşit olduğunda üsler de eşit olmalıdır:

  $n+1 = 6$

  $n = 6 - 1$

  $n = 5$

  Yani küme 5 elemanlıdır.

Bu durumda, kümenin eleman sayısı 5'tir. Kontrol edelim: Alt küme sayısı $2^5 = 32$ ve öz alt küme sayısı $2^5 - 1 = 31$ olur. Toplamları $32 + 31 = 63$ eder. Bu da cevabımızın doğru olduğunu gösterir.

Cevap B seçeneğidir.