Bir aracın fren mesafesi; sürücünün refleks süresi, yol yüzeyinin sürtünme katsayısı ve aracın başlangıç hızının karesi ile doğru orantılıdır. Kuru asfaltta 90 km/sa hızla giden bir aracın fren mesafesi 40 metredir.
Aynı aracın yağmurlu havada (sürtünme katsayısı yarıya indiğinde) 45 km/sa hızla giderken fren mesafesi kaç metre olur?
A) 5
B) 10
C) 20
D) 40
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir aracın fren mesafesini etkileyen faktörleri ve bu faktörler değiştiğinde fren mesafesinin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Fizikteki doğru orantı kavramını kullanarak bu problemi adım adım çözeceğiz.
-
Temel Bağıntıyı Anlayalım: Soruda verilen bilgiye göre, fren mesafesi ($D$); sürücünün refleks süresi (bu soruda sabit kabul edebiliriz), yol yüzeyinin sürtünme katsayısı ($\mu$) ve aracın başlangıç hızının karesi ($v^2$) ile doğru orantılıdır. Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
$D = k \cdot \mu \cdot v^2$
Burada $k$ bir orantı sabitidir. Bu sabit, aracın yapısı, sürücünün refleks süresi gibi değişmeyen faktörleri içerir.
-
Verilenleri Belirleyelim (Kuru Asfalt Durumu - Durum 1):
- Başlangıç fren mesafesi ($D_1$): $40$ metre
- Başlangıç hız ($v_1$): $90$ km/sa
- Sürtünme katsayısı ($\mu_1$): $\mu$ (bir değer atayalım, çünkü daha sonra oranlama yaparken sadeleşecek)
-
Verilenleri Belirleyelim (Yağmurlu Hava Durumu - Durum 2):
- Yeni hız ($v_2$): $45$ km/sa
- Yeni sürtünme katsayısı ($\mu_2$): $\mu / 2$ (çünkü yağmurlu havada sürtünme katsayısı yarıya iniyor)
- Aradığımız fren mesafesi ($D_2$): ?
-
Oranlama Yöntemini Kullanalım: İki farklı durumu karşılaştırırken, orantı sabitini ($k$) ayrı ayrı hesaplamak yerine, iki durumu birbirine oranlayarak $k$ sabitini ortadan kaldırabiliriz. Bu, hesaplamaları çok daha kolaylaştırır.
$\frac{D_2}{D_1} = \frac{k \cdot \mu_2 \cdot v_2^2}{k \cdot \mu_1 \cdot v_1^2}$
Gördüğünüz gibi, orantı sabiti $k$ pay ve paydadan sadeleşir:
$\frac{D_2}{D_1} = \frac{\mu_2 \cdot v_2^2}{\mu_1 \cdot v_1^2}$
-
Değerleri Yerine Koyalım: Şimdi bilinen değerleri bu orantıya yerleştirelim.
$\frac{D_2}{40} = \frac{(\mu / 2) \cdot (45)^2}{\mu \cdot (90)^2}$
-
İfadeyi Sadeleştirelim:
- Öncelikle sürtünme katsayılarını sadeleştirelim ($\mu$ hem payda hem de paydada olduğu için birbirini götürür):
$\frac{D_2}{40} = \frac{(1 / 2) \cdot (45)^2}{(90)^2}$
- Şimdi hız terimlerini sadeleştirelim. $(45)^2 / (90)^2$ ifadesini $\left(\frac{45}{90}\right)^2$ olarak yazabiliriz:
$\frac{D_2}{40} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{45}{90}\right)^2$
- Parantez içindeki oranı sadeleştirelim: $45/90 = 1/2$.
$\frac{D_2}{40} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$
- Karesini alalım: $(1/2)^2 = 1/4$.
$\frac{D_2}{40} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$
- Çarpma işlemini yapalım:
$\frac{D_2}{40} = \frac{1}{8}$
-
Sonucu Hesaplayalım: $D_2$ değerini bulmak için denklemi çözelim.
$D_2 = 40 \cdot \frac{1}{8}$
$D_2 = 5$ metre.
Yani, aynı araç yağmurlu havada (sürtünme katsayısı yarıya indiğinde) 45 km/sa hızla giderken fren mesafesi 5 metre olacaktır.
Cevap B seçeneğidir.
