Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ürünün maliyeti, satış fiyatı ve elde edilen toplam kar arasındaki ilişkiyi kullanarak kaç adet ürün satıldığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım.
- Bir ürünün maliyeti: $x$ lira.
- Bir ürünün satış fiyatı: $x+4$ lira.
- Elde edilen toplam kar: $x^2+9x+20$ lira.
- Bizden istenen: Satılan ürün adedi. Bu adede $A$ diyelim.
- Adım 2: Bir Üründen Elde Edilen Karı Hesaplayalım.
- Kar, satış fiyatından maliyetin çıkarılmasıyla bulunur.
- Bir üründen elde edilen kar = Satış Fiyatı - Maliyet
- Bir üründen elde edilen kar = $(x+4) - x = 4$ lira.
- Adım 3: Toplam Kar Formülünü Kullanarak Denklemi Kuralım.
- Toplam kar, bir üründen elde edilen kar ile satılan ürün adedinin çarpımına eşittir.
- Toplam Kar = (Bir üründen elde edilen kar) $\times$ (Satılan ürün adedi)
- $x^2+9x+20 = 4 \times A$
- Adım 4: Satılan Ürün Adedi ($A$) İçin İfadeyi Bulalım.
- Denklemin her iki tarafını $4$'e bölerek $A$'yı yalnız bırakırız:
- $A = \frac{x^2+9x+20}{4}$
- Adım 5: Paydadaki İfadeyi Çarpanlarına Ayıralım.
- $x^2+9x+20$ ifadesini çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Çarpımları $20$ ve toplamları $9$ olan iki sayı $4$ ve $5$'tir.
- Yani, $x^2+9x+20 = (x+4)(x+5)$.
- Adım 6: $A$ İfadesini Yeniden Yazalım.
- Şimdi $A$ ifadesi şu hale geldi: $A = \frac{(x+4)(x+5)}{4}$.
- Adım 7: $A$'nın Sayısal Bir Değer Olması İçin $x$'in Değerini Belirleyelim.
- Soruda satılan ürün adedinin belirli bir sayı (seçeneklerdeki gibi) olması beklenmektedir. Bu durumda, $A$ ifadesinin $x$'ten bağımsız bir sayıya eşit olması gerekir.
- $A = \frac{x^2+9x+20}{4}$ ifadesinin bir seçenekle eşleşmesi için $x$ değerini bulmalıyız. Seçenekleri incelediğimizde, $A=5$ seçeneğini denediğimizde:
- $5 = \frac{x^2+9x+20}{4}$
- Denklemin her iki tarafını $4$ ile çarparsak: $20 = x^2+9x+20$
- $20$'leri eşitliğin her iki tarafından çıkarırsak: $x^2+9x = 0$
- $x$ parantezine alırsak: $x(x+9) = 0$
- Bu denklemin çözümleri $x=0$ veya $x=-9$'dur.
- Ürünün maliyeti negatif olamayacağından ($x \ge 0$), $x=0$ değerini kabul ederiz.
- $x=0$ olduğunda, bir ürünün maliyeti $0$ lira, satış fiyatı $0+4=4$ lira olur. Bir üründen elde edilen kar $4$ liradır. Toplam kar ise $0^2+9(0)+20 = 20$ liradır.
- Bu durumda satılan ürün adedi $A = \frac{\text{Toplam Kar}}{\text{Bir ürün karı}} = \frac{20}{4} = 5$ olur.
- Diğer seçenekler için $x$ değeri ya negatif ya da irrasyonel çıkmaktadır, bu da maliyet için uygun değildir.
Cevap B seçeneğidir.
