x²+bx+c şeklindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması Test 2

Bir kutunun hacmi \(x^3-4x^2-7x+10\) cm³'tür. Kutunun boyutları \(x+a\), \(x+b\) ve \(x+c\) olduğuna göre \(a+b+c\) kaçtır?

A) -4
B) -3
C) -2
D) -1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir kutunun hacmi ve boyutları arasındaki ilişkiyi kullanarak cebirsel ifadelerle işlem yapacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Kutunun Hacmini Boyutları Cinsinden Yazma:

  Bir kutunun hacmi, üç boyutunun çarpımına eşittir. Soruda kutunun boyutları $(x+a)$, $(x+b)$ ve $(x+c)$ olarak verilmiş. O halde kutunun hacmi $V = (x+a)(x+b)(x+c)$ şeklinde ifade edilir.

• 2. Boyutların Çarpımını Açma:

  Şimdi bu çarpımı adım adım açalım:

  Önce ilk iki terimi çarpalım:

  $(x+a)(x+b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x + ab$

  Şimdi bu ifadeyi üçüncü terim olan $(x+c)$ ile çarpalım:

  $(x^2 + (a+b)x + ab)(x+c)$

  Her terimi diğer parantezdeki her terimle çarpıyoruz:

  $= x^2 \cdot x + x^2 \cdot c + (a+b)x \cdot x + (a+b)x \cdot c + ab \cdot x + ab \cdot c$

  $= x^3 + cx^2 + (a+b)x^2 + (a+b)cx + abx + abc$

  Şimdi aynı dereceli terimleri bir araya getirelim:

  $= x^3 + (c+a+b)x^2 + (ac+bc+ab)x + abc$

  Daha düzenli bir şekilde yazarsak:

  $= x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x + abc$

• 3. Verilen Hacim İfadesiyle Karşılaştırma:

  Soruda kutunun hacmi $V = x^3-4x^2-7x+10$ olarak verilmişti. Bizim bulduğumuz açılım ise $V = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x + abc$ şeklindedir.

  Bu iki polinomun birbirine eşit olması için, aynı dereceli terimlerin katsayıları da birbirine eşit olmalıdır. Karşılaştıralım:

  • $x^3$ teriminin katsayısı: $1 = 1$ (doğru)
  • $x^2$ teriminin katsayısı: $(a+b+c) = -4$
  • $x$ teriminin katsayısı: $(ab+ac+bc) = -7$
  • Sabit terim: $abc = 10$
• 4. $a+b+c$ Değerini Bulma:

  Soruda bizden $a+b+c$ değerini bulmamız isteniyor. Yukarıdaki karşılaştırmadan da gördüğümüz gibi, $x^2$ terimlerinin katsayılarını eşitlediğimizde doğrudan bu değeri elde ederiz:

  $(a+b+c) = -4$

Bu durumda, $a+b+c$ değeri $-4$'tür.

Cevap A seçeneğidir.