Basit harmonik hareket (BHH) nedir Test 2

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum-zaman grafiği aşağıdaki gibidir:
[Grafik: Kosinüs dalgası şeklinde, genlik A, periyot T]
Buna göre cismin hız-zaman grafiği aşağıdakilerden hangisi gibi olur?

A) Kosinüs grafiği (faz farkı 0)
B) Sinüs grafiği (faz farkı π/2)
C) -Sinüs grafiği (faz farkı π/2)
D) -Kosinüs grafiği (faz farkı π)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Basit harmonik hareket (BHH) yapan bir cismin konum-zaman grafiği verildiğinde, hız-zaman grafiğini bulmak için konum fonksiyonunun zamana göre türevini almamız gerekir. Şimdi adım adım bu süreci inceleyelim:

• 1. Konum-Zaman Grafiğini Yorumlama:

  Verilen grafik, bir kosinüs dalgası şeklindedir. Grafiğe baktığımızda, $t=0$ anında cismin konumunun maksimum pozitif genlik ($A$) değerinde olduğunu görüyoruz. Bu durum, basit harmonik hareketteki konum denkleminin bir kosinüs fonksiyonu olduğunu gösterir. Yani, cismin konum denklemi şu şekildedir:

  $x(t) = A \cos(\omega t)$

  Burada $A$ genlik, $\omega$ açısal frekans ve $t$ zamandır.

• 2. Hız Denklemini Elde Etme:

  Basit harmonik hareketteki hız, konumun zamana göre türevidir. Yani $v(t) = \frac{dx}{dt}$'dir. Konum denklemimizin türevini alalım:

  $v(t) = \frac{d}{dt} (A \cos(\omega t))$

  Türev kurallarını hatırlayalım: $\frac{d}{dt} (\cos(u)) = -\sin(u) \frac{du}{dt}$. Burada $u = \omega t$ olduğu için $\frac{du}{dt} = \omega$ olur.

  Bu durumda hız denklemi şu şekilde bulunur:

  $v(t) = A (-\sin(\omega t)) (\omega)$

  $v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$

  Burada $A\omega$ hızın maksimum genlik değeridir ($v_{max}$).

• 3. Hız-Zaman Grafiğini Yorumlama:

  Elde ettiğimiz hız denklemi $v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$ şeklindedir. Bu denklem, bir "negatif sinüs" fonksiyonunu temsil eder. Bir sinüs fonksiyonu $t=0$ anında 0'dan başlayıp pozitif yönde artarken, bir negatif sinüs fonksiyonu $t=0$ anında 0'dan başlayıp negatif yönde azalır.

  Şimdi bu fonksiyonun davranışını kontrol edelim:

  • $t=0$ anında: $v(0) = -A\omega \sin(0) = 0$. Bu, cismin maksimum uzanım noktasında (dönüş noktasında) anlık olarak durduğunu gösterir, ki bu fiziksel olarak doğrudur.
  • $t=T/4$ anında (periyodun dörtte biri): $v(T/4) = -A\omega \sin(\omega T/4) = -A\omega \sin(2\pi/T \cdot T/4) = -A\omega \sin(\pi/2) = -A\omega (1) = -A\omega$. Bu, cismin denge konumundan geçerken maksimum negatif hıza sahip olduğunu gösterir.

  Bu davranış, bir negatif sinüs grafiğine tamamen uymaktadır.

• 4. Seçenekleri Değerlendirme:
  • A) Kosinüs grafiği (faz farkı 0): Bu $A\omega \cos(\omega t)$ anlamına gelir. Bizim sonucumuzla uyuşmuyor.
  • B) Sinüs grafiği (faz farkı $\pi/2$): Bu $A\omega \sin(\omega t)$ anlamına gelir. Bizim sonucumuzla uyuşmuyor.
  • C) -Sinüs grafiği (faz farkı $\pi/2$): Bu $-A\omega \sin(\omega t)$ anlamına gelir. Elde ettiğimiz hız denklemiyle tamamen aynıdır. Konum ve hız arasında $\pi/2$ (90 derece) faz farkı vardır. Konum kosinüs iken, hız negatif sinüstür.
  • D) -Kosinüs grafiği (faz farkı $\pi$): Bu $-A\omega \cos(\omega t)$ anlamına gelir. Bizim sonucumuzla uyuşmuyor.

Sonuç olarak, konum-zaman grafiği $A \cos(\omega t)$ şeklinde olan bir cismin hız-zaman grafiği $-A\omega \sin(\omega t)$ şeklinde olacaktır. Bu da bir negatif sinüs grafiğidir.

Cevap C seçeneğidir.