Yay sabiti k olan bir yayın ucuna m kütleli cisim asılarak basit harmonik hareket yapması sağlanıyor. Sistemin periyodu T'dir. Aynı yayın ucuna 4m kütleli bir cisim asıldığında periyot kaç T olur?
A) 2Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda basit harmonik hareket yapan bir yay-kütle sisteminin periyodunun kütle ile nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Yay-kütle sistemlerinde basit harmonik hareketin periyodu ($T$), yayın sabiti ($k$) ve cisme asılan kütle ($m$) ile ilişkilidir. Bu ilişkiyi veren formül şöyledir:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Bu formülde:
Gördüğümüz gibi, periyot kütlenin karekökü ile doğru orantılıdır.
Soruda verilen ilk durumda, yayın ucuna $m$ kütleli cisim asıldığında periyodun $T$ olduğu belirtiliyor. Bu durumu formülümüze yazarsak:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Bu bizim referans periyodumuzdur.
Şimdi yayın ucuna $4m$ kütleli bir cisim asıldığında periyodun nasıl değişeceğini bulmalıyız. Yay aynı yay olduğu için yay sabiti $k$ değişmeyecektir. Yeni periyodu $T'$ ile gösterelim:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$
Yeni periyot formülünü biraz düzenleyelim. Karekök içindeki $4$ sayısını dışarı çıkarabiliriz:
$T' = 2\pi \sqrt{4} \sqrt{\frac{m}{k}}$
$\sqrt{4}$ değeri $2$'ye eşittir. O halde denklemimiz şöyle olur:
$T' = 2\pi \cdot 2 \sqrt{\frac{m}{k}}$
Bu ifadeyi yeniden düzenlersek:
$T' = 2 \cdot \left( 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \right)$
Parantez içindeki ifadeye dikkat edelim. Bu ifade, ilk durumdaki periyot $T$'ye eşittir:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Bu durumda, $T'$ için bulduğumuz ifadeyi $T$ cinsinden yazabiliriz:
$T' = 2T$
Yayın ucuna asılan kütle $m$'den $4m$'ye çıkarıldığında, sistemin periyodu $T$'den $2T$'ye çıkar. Yani periyot iki katına çıkar.
Cevap A seçeneğidir.
