Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, kombinatorik alanındaki temel kavramlardan biri olan permütasyon (sıralama) ile ilgilidir. Bir grup insanın, belirli bir havuzdan farklı öğeleri seçme yollarını adım adım inceleyelim.
- Problemi Anlayalım: Restoranda 8 farklı yemek var ve 4 kişilik bir grup, her biri farklı bir yemek seçecek. Bu durumda, seçilen yemeklerin kişilere atanma sırası önemlidir ve bir yemek birden fazla kez seçilemez. Bu tür durumlar için permütasyon (sıralama) prensibini kullanırız.
- İlk Kişinin Seçimi: Grubun ilk üyesi, restorandaki 8 farklı yemekten herhangi birini seçebilir. Bu durumda ilk kişi için 8 farklı seçenek vardır.
- İkinci Kişinin Seçimi: İlk kişi bir yemek seçtiği için, geriye kalan yemek sayısı $8 - 1 = 7$'dir. İkinci kişi, ilk kişinin seçtiği yemekten farklı bir yemek seçmek zorunda olduğu için, 7 farklı yemek arasından seçim yapabilir.
- Üçüncü Kişinin Seçimi: İlk iki kişi iki farklı yemek seçtiği için, geriye kalan yemek sayısı $7 - 1 = 6$'dır. Üçüncü kişi, ilk iki kişinin seçtiği yemeklerden farklı bir yemek seçmek zorunda olduğu için, 6 farklı yemek arasından seçim yapabilir.
- Dördüncü Kişinin Seçimi: İlk üç kişi üç farklı yemek seçtiği için, geriye kalan yemek sayısı $6 - 1 = 5$'tir. Dördüncü kişi, ilk üç kişinin seçtiği yemeklerden farklı bir yemek seçmek zorunda olduğu için, 5 farklı yemek arasından seçim yapabilir.
- Toplam Farklı Sipariş Sayısını Hesaplama: Her bir kişinin bağımsız seçim haklarını çarparak toplam farklı sipariş sayısını buluruz. Bu, $8 \times 7 \times 6 \times 5$ işlemini yapmamız gerektiği anlamına gelir.
- Matematiksel Hesaplama:
$8 \times 7 = 56$
$56 \times 6 = 336$
$336 \times 5 = 1680$
Bu aynı zamanda 8 öğeden 4'ünün sıralanması (permütasyonu) olarak da ifade edilebilir: $P(8, 4) = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$.
Bu durumda, 4 kişilik bir grup her biri farklı yemek seçmek şartıyla 1680 farklı şekilde sipariş verebilir.
Cevap B seçeneğidir.
