Sayma, olasılık ve kombinasyon gibi konuların temelini oluşturan önemli bir matematiksel beceridir. Temel olarak iki ana sayma yöntemi vardır: Toplama Yoluyla Sayma ve Çarpma Yoluyla Sayma.
Eğer bir işlem birbirini engelleyen (ayrık) durumlardan oluşuyorsa, yani bir durum gerçekleşirken diğeri gerçekleşemiyorsa, toplam olasılık bu durumların sayılarının toplamına eşittir.
Kural: "VEYA" bağlacı geçiyorsa genellikle toplama yapılır.
Örnek: Bir kutuda 3 kırmızı ve 5 mavi kalem vardır. Bu kutudan bir kalem kaç farklı şekilde seçilebilir?
Toplam seçim: \(3 + 5 = 8\) farklı şekilde.
Eğer bir işlem birbirini takip eden ve birbirinden bağımsız adımlardan oluşuyorsa, toplam olasılık bu adımların sayılarının çarpımına eşittir.
Kural: "VE" bağlacı geçiyorsa genellikle çarpma yapılır.
Örnek: 3 farklı gömleği ve 4 farklı pantolonu olan biri, bir gömlek ve bir pantolonu kaç farklı şekilde giyebilir?
Toplam kombinasyon: \(3 \times 4 = 12\) farklı şekilde.
Bu yöntemlerin yanında, sıralama (permütasyon) problemlerinde sıkça kullanılan faktöriyel kavramı da bir sayma aracıdır.
\(n!\) (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1\)
Örnek: 5 kişi, bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm: \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) farklı şekilde.
Özetle: Ayrık durumları sayarken toplama, ardışık ve bağımsız seçimleri sayarken çarpma kuralını kullanırız. Sıralama problemlerinde ise faktöriyel devreye girer.
Soru 1: Bir öğrenci, 3 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 2 farklı kimya kitabını bir rafa dizmek istiyor. Aynı derse ait kitapların bir arada olması koşuluyla bu kitaplar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
a) 144 b) 864 c) 1728 d) 3456 e) 5184
Cevap: c) 1728
Çözüm: Önce ders grupları 3! = 6 farklı şekilde sıralanır. Matematik kitapları kendi içinde 3! = 6, fizik kitapları 4! = 24, kimya kitapları 2! = 2 farklı şekilde dizilir. Tüm durumların çarpımı: 6 × 6 × 24 × 2 = 1728 olur.
Soru 2: 5 farklı mektup, 3 farklı posta kutusuna atılacaktır. Her posta kutusuna en az bir mektup atma koşuluyla bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?
a) 150 b) 180 c) 210 d) 240 e) 270
Cevap: a) 150
Çözüm: Tüm mektupların 3 kutuya dağıtımı \(3^5 = 243\) şekildedir. İçlerinden hiç mektup atılmayan kutuların olduğu durumlar çıkarılır. Hiç mektup atılmayan 1 kutu \( \binom{3}{1} \times 2^5 = 3 \times 32 = 96 \) şekildedir. Hiç mektup atılmayan 2 kutu \( \binom{3}{2} \times 1^5 = 3 \times 1 = 3 \) şekildedir. İstenen durum: 243 - 96 - 3 = 144 değildir. Doğru çözüm, her kutuya en az bir mektup atılması için önce 5 mektup 3 gruba ayrılmalıdır. (3,1,1) ve (2,2,1) şeklinde iki durum vardır. (3,1,1) dağılımı: \( \frac{5!}{3!1!1!} \times \frac{3!}{2!} = 10 \times 3 = 30 \). (2,2,1) dağılımı: \( \frac{5!}{2!2!1!} \times \frac{3!}{2!} = 15 \times 3 = 45 \). Toplam: 30 + 45 = 75. Bu gruplar 3 kutuya 3! = 6 farklı şekilde atanır. 75 × 6 = 450. Ancak bu soru için klasik çözüm hatalıdır. Doğru cevap 150'dir ve özel bir formülle bulunur: \(3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 243 - 96 + 3 = 150\).
Soru 3: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 4 basamaklı ve 3000'den büyük sayılar yazılacaktır. Bu sayılardan kaç tanesinde 5 rakamı bulunur?
a) 120 b) 168 c) 180 d) 192 e) 216
Cevap: b) 168
Çözüm: İstenen durumu tüm durumdan (5'in olmadığı durumları) çıkararak bulabiliriz. 3000'den büyük tüm sayılar: Binler basamağı {3,4,5,6} kümesinden (4 seçenek), diğer basamaklar kalan 5 rakamdan seçilir: 4 × 5 × 4 × 3 = 240. İçinde 5 bulunmayan ve 3000'den büyük sayılar: Binler basamağı {3,4,6} kümesinden (3 seçenek, 5 yok), diğer basamaklar {1,
Sayma yöntemleri, günlük hayatta ve matematik problemlerinde karşımıza çıkan "kaç farklı şekilde?" sorusuna cevap bulmamızı sağlayan tekniklerdir. Temel olarak iki ana yöntem üzerinde duracağız.
Toplama yoluyla sayma yöntemi, ayrık (birbirini engelleyen) durumlarda kullanılır. Yani, bir işlem birkaç farklı şekilde gerçekleşebiliyor ve bu şekillerden sadece biri seçilebiliyorsa, toplam durum sayısını bulmak için bu yöntemi kullanırız.
Kural: Ayrık işlemlerin toplam sayısı, bu işlemlerin sayılarının toplamına eşittir.
Örnek: Bir kütüphanede 5 farklı roman ve 3 farklı şiir kitabı vardır. Bir öğrenci bu kütüphaneden sadece bir kitap seçecektir. Bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?
Bu iki durum birbirinden ayrıktır (ya roman ya da şiir kitabı seçilir). Bu nedenle toplam seçenek sayısı: \( 5 + 3 = 8 \) farklı şekildedir.
Çarpma yoluyla sayma yöntemi, bir işlem ardışık adımlardan oluşuyorsa kullanılır. Yani, bir işlem birden fazla aşamada gerçekleşiyor ve her aşama bir öncekinden bağımsız ise, toplam durum sayısını bulmak için bu yöntemi kullanırız.
Kural: Ardışık işlemlerin toplam sayısı, bu işlemlerin sayılarının çarpımına eşittir.
Örnek: 3 farklı gömleği ve 2 farklı pantolonu olan bir kişi, bu giysileri kullanarak kaç farklı şekilde giyinebilir?
Bu iki işlem birbirini takip eder ve birbirinden bağımsızdır (pantolon seçimi gömlek seçimine bağlı değildir). Bu nedenle toplam kombinasyon sayısı: \( 3 \times 2 = 6 \) farklı şekildedir.
Bir problemi çözmeye başlarken kendine şu soruyu sor: "Bu işlemler aynı anda mı yapılıyor (çarpma), yoksa ayrı ayrı mı seçiliyor (toplama)?" Bu sorunun cevabı, hangi yöntemi kullanacağını belirler.
