A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinden seçilen bir alt kümenin a ve b elemanlarını içermesi, ancak c elemanını içermemesi olasılığı kaçtır?
A) 1/8
B) 1/16
C) 1/32
D) 1/64
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kümenin alt kümeleri arasından belirli özelliklere sahip bir alt küme seçme olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Toplam Alt Küme Sayısını Bulma
- Öncelikle, $A = \{a, b, c, d, e\}$ kümesinin toplam kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım. Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin $2^n$ tane alt kümesi vardır.
- Bizim $A$ kümemizin eleman sayısı $n=5$'tir.
- Bu durumda, $A$ kümesinin toplam alt küme sayısı $2^5 = 32$'dir. Bu, tüm olası durumların sayısıdır.
- Adım 2: İstenen Şartları Sağlayan Alt Küme Sayısını Bulma
- Şimdi, bizden istenen özel şartları sağlayan alt kümelerin sayısını bulalım. Bu şartlar, alt kümenin 'a' elemanını içermesi, 'b' elemanını içermesi ve 'c' elemanını içermemesidir.
- Bu şartları sağlamak için, 'a' ve 'b' elemanlarını alt kümemize kesin olarak dahil ediyoruz. 'c' elemanını ise kesinlikle dahil etmiyoruz.
- Geriye kalan elemanlar $A$ kümesinden $\{a, b, c\}$ çıkarıldığında elde edilen kümedir. Yani, $A \setminus \{a, b, c\} = \{d, e\}$ elemanları kalır.
- Bu kalan $\{d, e\}$ elemanları, oluşturacağımız alt kümede olabilir veya olmayabilir. Bu elemanların her biri için 2 seçeneğimiz vardır (ya var ya yok).
- Dolayısıyla, bu kalan $2$ elemanla ($d$ ve $e$) oluşturulabilecek farklı kombinasyonların sayısı $2^2 = 4$'tür.
- Bu 4 kombinasyonun her birine 'a' ve 'b' elemanlarını ekleyip, 'c' elemanını eklemediğimizde, istenen şartları sağlayan alt kümeleri elde etmiş oluruz.
- Yani, istenen şartları sağlayan alt küme sayısı 4'tür. Bu, olumlu durumların sayısıdır.
- Adım 3: Olasılığı Hesaplama
- Olasılık, "İstenen Durumların Sayısı"nın "Tüm Olası Durumların Sayısı"na oranıdır.
- Olasılık $= \frac{\text{İstenen Şartları Sağlayan Alt Küme Sayısı}}{\text{Toplam Alt Küme Sayısı}}$
- Olasılık $= \frac{4}{32}$
- Bu kesri sadeleştirdiğimizde: Olasılık $= \frac{1}{8}$ buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
