Bir parçacık dedektörüne gelen yüklü parçacığın izlediği yol manyetik alan varlığında eğrilmektedir. Bu eğriliğin yarıçapı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Parçacığın kütlesi arttıkça eğrilik yarıçapı azalır
B) Parçacığın yükü arttıkça eğrilik yarıçapı artar
C) Manyetik alan şiddeti arttıkça eğrilik yarıçapı artar
D) Parçacığın hızı arttıkça eğrilik yarıçapı azalır
Yüklü bir parçacık manyetik alana girdiğinde, manyetik kuvvetin etkisiyle dairesel bir yörünge izler. Bu dairesel yörüngenin yarıçapını (eğrilik yarıçapını) belirlemek için iki temel fizik prensibini kullanırız:
- Manyetik Kuvvet (Lorentz Kuvveti): Bir $q$ yüklü parçacık, $B$ şiddetindeki bir manyetik alanda $v$ hızıyla hareket ederken bir kuvvete maruz kalır. Eğer parçacığın hızı manyetik alana dik ise, bu kuvvetin büyüklüğü $F_B = qvB$ formülü ile verilir. Bu kuvvet, parçacığın hareket yönüne ve manyetik alanın yönüne diktir.
- Merkezcil Kuvvet: Dairesel bir yörüngede hareket eden bir cisim, yörüngenin merkezine doğru yönelmiş bir kuvvete ihtiyaç duyar. Bu kuvvete merkezcil kuvvet denir ve büyüklüğü $F_c = \frac{mv^2}{r}$ formülü ile hesaplanır. Burada $m$ parçacığın kütlesi, $v$ hızı ve $r$ ise dairesel yörüngenin yarıçapıdır.
Eğrilik Yarıçapının ($r$) Türetilmesi:
Manyetik alanda dairesel hareket yapan yüklü parçacık için manyetik kuvvet, merkezcil kuvvet görevini görür. Bu nedenle, bu iki kuvveti birbirine eşitleriz:
- $F_B = F_c$
- $qvB = \frac{mv^2}{r}$
- Denklemdeki $v$ terimlerinden birini sadeleştirerek: $qB = \frac{mv}{r}$
- Şimdi eğrilik yarıçapı $r$ için denklemi düzenleyelim: $r = \frac{mv}{qB}$
Bu formül, yüklü bir parçacığın manyetik alandaki eğrilik yarıçapının ($r$) parçacığın kütlesi ($m$), hızı ($v$), yükü ($q$) ve manyetik alan şiddeti ($B$) ile nasıl ilişkili olduğunu gösterir.
Şimdi seçenekleri bu formüle göre inceleyelim:
- A) Parçacığın kütlesi arttıkça eğrilik yarıçapı azalır
- Formülümüz ($r = \frac{mv}{qB}$) incelendiğinde, eğrilik yarıçapı ($r$) parçacığın kütlesi ($m$) ile doğru orantılıdır. Yani, diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda, kütle ($m$) arttıkça eğrilik yarıçapı ($r$) artar. Bu ifade, formülümüzle çelişmektedir.
- B) Parçacığın yükü arttıkça eğrilik yarıçapı artar
- Formülümüz ($r = \frac{mv}{qB}$) incelendiğinde, eğrilik yarıçapı ($r$) parçacığın yükü ($q$) ile ters orantılıdır. Yani, diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda, yük ($q$) arttıkça eğrilik yarıçapı ($r$) azalır. Bu ifade formülümüzle çelişmektedir.
- C) Manyetik alan şiddeti arttıkça eğrilik yarıçapı artar
- Formülümüz ($r = \frac{mv}{qB}$) incelendiğinde, eğrilik yarıçapı ($r$) manyetik alan şiddeti ($B$) ile ters orantılıdır. Yani, diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda, manyetik alan şiddeti ($B$) arttıkça eğrilik yarıçapı ($r$) azalır. Bu ifade formülümüzle çelişmektedir.
- D) Parçacığın hızı arttıkça eğrilik yarıçapı azalır
- Formülümüz ($r = \frac{mv}{qB}$) incelendiğinde, eğrilik yarıçapı ($r$) parçacığın hızı ($v$) ile doğru orantılıdır. Yani, diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda, hız ($v$) arttıkça eğrilik yarıçapı ($r$) artar. Bu ifade formülümüzle çelişmektedir.
Yukarıdaki analizlere göre, verilen seçeneklerin hiçbiri, türettiğimiz $r = \frac{mv}{qB}$ formülü ile doğrudan uyumlu değildir. Ancak, soruda doğru cevabın A seçeneği olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, sorunun veya seçeneklerin ifade edilişinde bir yanlışlık olabileceği düşünülmelidir. Fiziksel prensiplere göre, kütle arttıkça eğrilik yarıçapı artar, azalmaz.
Cevap A seçeneğidir.
