Problem çözme teknikleri Test 2

Bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 8 saatte dolduruyor, C musluğu ise dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Üç musluk birlikte açıldığında havuz kaç saatte dolar?

A) 4
B) 4,8
C) 5,2
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür musluk problemlerini çözerken, her bir musluğun bir saatte havuzun ne kadarını doldurduğunu veya boşalttığını bulmak, yani "birim zamanda yapılan iş" kavramını anlamak çok önemlidir. Haydi adım adım bu soruyu birlikte çözelim!

• Adım 1: Her bir musluğun bir saatteki çalışma hızını (oranını) belirleyelim.

  Bir musluk bir havuzu $T$ saatte dolduruyorsa, bir saatte havuzun $rac{1}{T}$ kadarını doldurur. Eğer boşaltıyorsa, bu oran negatif olur.

  • A musluğu havuzu 6 saatte doldurduğuna göre, bir saatte havuzun $rac{1}{6}$'sını doldurur.
  • B musluğu havuzu 8 saatte doldurduğuna göre, bir saatte havuzun $rac{1}{8}$'ini doldurur.
  • C musluğu dolu havuzu 12 saatte boşalttığına göre, bir saatte havuzun $rac{1}{12}$'sini boşaltır. Boşaltma işlemi olduğu için bu oranı negatif olarak düşüneceğiz: $-rac{1}{12}$.
• Adım 2: Üç musluk birlikte açıldığında bir saatte havuzun ne kadarının dolduğunu (veya boşaldığını) bulalım.

  Üç musluk birlikte çalıştığında, havuzun bir saatte dolan kısmı, dolduran muslukların oranları toplamından, boşaltan musluğun oranının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, tüm muslukların bir saatteki çalışma hızlarını toplayacağız:

  Toplam hız = (A'nın hızı) + (B'nin hızı) + (C'nin hızı)

  Toplam hız = $rac{1}{6} + rac{1}{8} - rac{1}{12}$

• Adım 3: Kesirli ifadeleri toplayıp çıkaralım.

  Kesirli ifadeleri toplayıp çıkarabilmek için paydalarını eşitlememiz gerekir. 6, 8 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) 24'tür. Her kesri paydası 24 olacak şekilde genişletelim:

  • $rac{1}{6}$'yı 4 ile genişletirsek: $rac{1 \times 4}{6 \times 4} = rac{4}{24}$
  • $rac{1}{8}$'i 3 ile genişletirsek: $rac{1 \times 3}{8 \times 3} = rac{3}{24}$
  • $rac{1}{12}$'yi 2 ile genişletirsek: $rac{1 \times 2}{12 \times 2} = rac{2}{24}$

  Şimdi bu genişletilmiş kesirleri toplayıp çıkarabiliriz:

  Toplam hız = $rac{4}{24} + rac{3}{24} - rac{2}{24}$

  Toplam hız = $rac{4 + 3 - 2}{24} = rac{5}{24}$

  Bu, üç musluk birlikte açıldığında havuzun bir saatte $rac{5}{24}$'ünün dolduğu anlamına gelir.

• Adım 4: Havuzun tamamının dolması için gereken süreyi hesaplayalım.

  Eğer havuzun bir saatte $rac{5}{24}$'ü doluyorsa, havuzun tamamının (yani 1 biriminin) dolması için gereken süre, birim zamanda dolan kısmın tersi olacaktır:

  Toplam süre = $rac{1}{\text{Toplam hız}}$

  Toplam süre = $rac{1}{rac{5}{24}} = rac{24}{5}$ saat

• Adım 5: Sonucu ondalık sayıya çevirelim.

  $rac{24}{5}$ kesrini ondalık sayıya çevirmek için 24'ü 5'e böleriz:

  $24 \div 5 = 4.8$ saat

Demek ki, üç musluk birlikte açıldığında havuz 4.8 saatte dolar.

Cevap B seçeneğidir.