Hız zaman grafiğinin altında kalan alan neyi verir Test 1

Hızı $v(t) = t^2$ (m/s) denklemine göre değişen bir cisim için ilk 3 saniyede hız-zaman grafiğinin altında kalan alan kaç metredir?

A) 6
B) 9
C) 18
D) 27

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, hızı zamana göre değişen bir cismin belirli bir zaman aralığındaki yer değiştirmesini bulmamız isteniyor. Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan, cismin yer değiştirmesini verir. Matematiksel olarak bu, hız fonksiyonunun belirli integralini almak anlamına gelir.

• 1. Adım: Hız-zaman grafiği altında kalan alanın anlamını hatırlayalım.

  Fizikte, bir cismin hız-zaman grafiğinin altında kalan alan, o cismin belirli bir zaman aralığında yaptığı yer değiştirmeyi (konum değişimini) ifade eder. Bu, matematiksel olarak hız fonksiyonunun belirli integrali ile hesaplanır.

• 2. Adım: Yer değiştirme için integral ifadesini yazalım.

  Cismin hızı $v(t) = t^2$ (m/s) olarak verilmiştir. İlk 3 saniyedeki yer değiştirmeyi bulmak için, $t=0$ anından $t=3$ anına kadar hız fonksiyonunun integralini almalıyız. Yer değiştirme $\Delta x$ ile gösterilirse:

  $\Delta x = \int_{0}^{3} v(t) dt$

  Fonksiyonu yerine yazarsak:

  $\Delta x = \int_{0}^{3} t^2 dt$

• 3. Adım: İntegrali hesaplayalım.

  Şimdi $t^2$ ifadesinin integralini alalım. Bir $t^n$ ifadesinin integrali $\frac{t^{n+1}}{n+1}$ şeklindedir.

  $\int t^2 dt = \frac{t^{2+1}}{2+1} = \frac{t^3}{3}$

• 4. Adım: Belirli integralin sınırlarını uygulayalım.

  Bulduğumuz integral ifadesine üst sınırı ($t=3$) ve alt sınırı ($t=0$) uygulayıp farkını almalıyız:

  $\Delta x = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{3}$

  Önce üst sınırı yerine koyalım:

  $\frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$

  Sonra alt sınırı yerine koyalım:

  $\frac{0^3}{3} = \frac{0}{3} = 0$

  Bu iki değeri birbirinden çıkaralım:

  $\Delta x = 9 - 0 = 9$

• 5. Adım: Sonucu ve birimi belirtelim.

  Hesaplamalar sonucunda cismin ilk 3 saniyede yaptığı yer değiştirme 9 metredir.

Cevap B seçeneğidir.