Bu soruda bir kare piramidin yüksekliğini bulmamız isteniyor. Bunun için piramidin yanal alanı ve taban ayrıtı bilgilerini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Yanal Alan Formülünü Anlayalım
- Bir kare piramidin yanal alanı, dört adet eş üçgen yüzeyin alanları toplamıdır. Her bir üçgenin tabanı piramidin taban ayrıtı ($a$) ve yüksekliği ise piramidin yan yüz yüksekliği (eğik yükseklik veya apotem, $l$) olur.
- Yanal alan ($A_L$) formülü şu şekildedir: $A_L = 4 \times (\text{bir üçgenin alanı})$.
- Bir üçgenin alanı $ rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$ olduğundan, $A_L = 4 \times rac{1}{2} \times a \times l = 2al$ olur.
- 2. Adım: Yan Yüz Yüksekliğini (Eğik Yüksekliği) Bulalım
- Soruda verilen bilgiler: Yanal alan ($A_L$) = $260 \text{ cm}^2$ ve taban ayrıtı ($a$) = $10 \text{ cm}$.
- Yanal alan formülünü kullanarak yan yüz yüksekliğini ($l$) bulabiliriz:
- $260 = 2 \times 10 \times l$
- $260 = 20l$
- Her iki tarafı $20$'ye bölersek: $l = rac{260}{20} = 13 \text{ cm}$.
- Demek ki piramidin yan yüz yüksekliği $13 \text{ cm}$'dir.
- 3. Adım: Yükseklik, Yan Yüz Yüksekliği ve Taban Ayrıtı Arasındaki İlişkiyi Kuralım
- Piramidin yüksekliği ($h$), taban ayrıtının yarısı ($ rac{a}{2}$) ve yan yüz yüksekliği ($l$) arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır. Bu dik üçgen, piramidin tepe noktasından tabanın merkezine inen dikme (yükseklik), tabanın merkezinden bir kenarın orta noktasına olan uzaklık (taban ayrıtının yarısı) ve tepe noktasından o kenarın orta noktasına uzanan doğru (yan yüz yüksekliği) ile oluşur.
- Bu dik üçgende Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz: $h^2 + ( rac{a}{2})^2 = l^2$.
- 4. Adım: Piramidin Yüksekliğini Hesaplayalım
- Yan yüz yüksekliğini ($l$) $13 \text{ cm}$ ve taban ayrıtını ($a$) $10 \text{ cm}$ olarak bulduk.
- Taban ayrıtının yarısı $ rac{a}{2} = rac{10}{2} = 5 \text{ cm}$ olur.
- Şimdi Pisagor Teoremi'ni kullanalım:
- $h^2 + 5^2 = 13^2$
- $h^2 + 25 = 169$
- $h^2 = 169 - 25$
- $h^2 = 144$
- $h = \sqrt{144}$
- $h = 12 \text{ cm}$.
Böylece piramidin yüksekliğini $12 \text{ cm}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
