Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kürenin yarıçapı belirli bir oranda artırıldığında hacminin yüzde kaç artacağını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Kürenin Hacim Formülünü Hatırlayalım
- Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere aşağıdaki formülle hesaplanır:
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Bu formül, kürenin boyutları ile hacmi arasındaki ilişkiyi gösterir.
- 2. Adım: Başlangıç Durumunu Belirleyelim
- Başlangıçtaki yarıçapı $r_1$ olarak alalım. Bu durumda başlangıçtaki hacim $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ olur.
Hesaplamaları daha kolay yapmak için $r_1$ yerine sadece $r$ kullanalım. Yani, başlangıçtaki yarıçapımız $r$, hacmimiz ise $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ olsun.
- 3. Adım: Yarıçaptaki Değişimi Hesaplayalım
- Soruda yarıçapın %50 artırıldığı belirtiliyor.
Yeni yarıçap $r_2$, eski yarıçap $r$'nin %50 fazlası olacaktır:
$r_2 = r + r \times \frac{50}{100}$
$r_2 = r + 0.5r$
$r_2 = 1.5r$
Yani, yeni yarıçapımız başlangıçtaki yarıçapın 1.5 katı oldu.
- 4. Adım: Yeni Hacmi Hesaplayalım
- Şimdi, yeni yarıçap $r_2 = 1.5r$ değerini kürenin hacim formülünde yerine koyarak yeni hacmi $V_2$ bulalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (r_2)^3$
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (1.5r)^3$
Üslü ifadeyi açalım: $(1.5r)^3 = 1.5^3 \times r^3$.
$1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 2.25 \times 1.5 = 3.375$.
O zaman, $V_2 = \frac{4}{3}\pi (3.375 r^3)$
Bu ifadeyi düzenlersek: $V_2 = 3.375 \times (\frac{4}{3}\pi r^3)$
Hatırlayalım ki, başlangıçtaki hacim $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ idi.
Bu durumda, $V_2 = 3.375 V_1$ olur.
Yani, yeni hacim başlangıçtaki hacmin 3.375 katı oldu.
- 5. Adım: Hacimdeki Artış Miktarını Bulalım
- Hacimdeki artış miktarı, yeni hacimden başlangıçtaki hacmi çıkararak bulunur:
Artış Miktarı $= V_2 - V_1$
Artış Miktarı $= 3.375 V_1 - V_1$
Artış Miktarı $= (3.375 - 1) V_1$
Artış Miktarı $= 2.375 V_1$
- 6. Adım: Yüzde Artışı Hesaplayalım
- Yüzde artışı bulmak için artış miktarını başlangıçtaki hacme bölüp 100 ile çarparız:
Yüzde Artış $= \frac{\text{Artış Miktarı}}{\text{Başlangıç Hacmi}} \times 100$
Yüzde Artış $= \frac{2.375 V_1}{V_1} \times 100$
Yüzde Artış $= 2.375 \times 100$
Yüzde Artış $= 237.5\%$
Gördüğümüz gibi, yarıçap %50 artırıldığında hacim %237.5 oranında artmaktadır. Bu, kürenin hacminin yarıçapın küpüyle orantılı olmasından kaynaklanan önemli bir artıştır.
Cevap C seçeneğidir.
