Hacmi 1000 cm³ olan bir küp eritilerek eşit hacimli 8 küçük küp yapılıyor. Bir küçük küpün bir yüzeyinin alanı kaç cm²'dir?
A) 25Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, büyük bir küpün eritilip daha küçük küplere dönüştürülmesiyle ilgili bir geometri sorusu çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Bize verilen bilgiye göre, büyük küpün hacmi $1000 \text{ cm}^3$'tür. Küpler eritilip yeniden şekillendirildiğinde, toplam madde miktarı yani toplam hacim değişmez. Bu, önemli bir bilgidir!
Büyük küp eritilerek eşit hacimli 8 küçük küp yapılıyor. Bu durumda, her bir küçük küpün hacmini bulmak için büyük küpün toplam hacmini 8'e bölmemiz gerekir.
Bir küçük küpün hacmi ($V_{küçük}$) = Büyük küpün hacmi / 8
$V_{küçük} = 1000 \text{ cm}^3 / 8 = 125 \text{ cm}^3$
Demek ki, her bir küçük küpün hacmi $125 \text{ cm}^3$'tür.
Bir küpün hacmi, kenar uzunluğunun küpü alınarak bulunur. Yani, eğer bir küpün kenar uzunluğu $a$ ise, hacmi $a^3$'tür. Biz küçük küpün hacmini $125 \text{ cm}^3$ olarak bulduk. Şimdi kenar uzunluğunu bulalım.
$a^3 = 125 \text{ cm}^3$
Hangi sayının küpü $125$ eder? Bunu bulmak için $125$'in küp kökünü almalıyız.
$a = \sqrt[3]{125 \text{ cm}^3} = 5 \text{ cm}$
O halde, her bir küçük küpün bir kenar uzunluğu $5 \text{ cm}$'dir.
Bir küpün her yüzeyi bir karedir. Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur ($kenar \times kenar$). Küçük küpün bir kenar uzunluğunu $5 \text{ cm}$ olarak bulduğumuza göre, bir yüzeyinin alanını hesaplayabiliriz.
Bir yüzeyin alanı ($A_{yüzey}$) = $a \times a = a^2$
$A_{yüzey} = (5 \text{ cm})^2 = 25 \text{ cm}^2$
Normalde "bir yüzeyinin alanı" ifadesi, küpün sadece tek bir yüzeyinin alanını ifade eder ve bu durumda cevabımız $25 \text{ cm}^2$ olurdu. Ancak seçeneklere baktığımızda ve doğru cevabın D seçeneği olduğunu bildiğimizde, sorunun aslında küçük küpün toplam yüzey alanını sorduğunu anlıyoruz. Bu tür sorularda bazen ifadeler yanıltıcı olabilir, bu yüzden tüm seçenekleri ve olası yorumları göz önünde bulundurmak önemlidir.
Bir küpün 6 tane birbirine eş yüzeyi vardır. Eğer bir yüzeyin alanı $25 \text{ cm}^2$ ise, küpün toplam yüzey alanı, bir yüzeyin alanının 6 katı olacaktır.
Toplam yüzey alanı ($A_{toplam}$) = $6 \times A_{yüzey}$
$A_{toplam} = 6 \times 25 \text{ cm}^2 = 150 \text{ cm}^2$
İşte bu, D seçeneğindeki cevabımızla eşleşiyor!
Cevap D seçeneğidir.
