Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir trigonometrik ifadenin değerini bulmamız isteniyor. İfadeyi adım adım inceleyerek sonuca ulaşalım.
- Adım 1: İçteki ifadeyi tanımlama
- Öncelikle, ifadenin iç kısmındaki $\arccos\left(\frac{12}{13}\right)$ kısmını ele alalım. Bu ifade, kosinüsü $\frac{12}{13}$ olan açıyı temsil eder.
- Bu açıyı $\theta$ (teta) ile gösterelim: $\theta = \arccos\left(\frac{12}{13}\right)$.
- Bu tanıma göre, $\cos(\theta) = \frac{12}{13}$ olur.
- Adım 2: Açının bulunduğu bölgeyi belirleme
- $\arccos(x)$ fonksiyonunun tanım aralığı $[0, \pi]$'dir (yani $0^\circ$ ile $180^\circ$ arası).
- $\cos(\theta)$ değeri pozitif olduğu için ($\frac{12}{13} > 0$), $\theta$ açısı birinci bölgede ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ veya $0^\circ < \theta < 90^\circ$) olmalıdır. Birinci bölgede tüm trigonometrik oranlar pozitiftir.
- Adım 3: Dik üçgen çizme ve kenarları belirleme
- Bir dik üçgen çizelim ve $\theta$ açısını bu üçgenin bir dar açısı olarak yerleştirelim.
- Kosinüsün tanımı, bir dik üçgende "komşu dik kenar / hipotenüs" şeklindedir.
- $\cos(\theta) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{12}{13}$.
- Bu durumda, $\theta$ açısının komşu dik kenarı $12$ birim, hipotenüsü ise $13$ birimdir.
- Adım 4: Üçgenin üçüncü kenarını (karşı dik kenarı) bulma
- Pisagor teoremini kullanarak üçgenin üçüncü kenarını (karşı dik kenarını) bulalım. Karşı dik kenara $x$ diyelim.
- Pisagor teoremi: $(\text{karşı dik kenar})^2 + (\text{komşu dik kenar})^2 = (\text{hipotenüs})^2$.
- $x^2 + 12^2 = 13^2$
- $x^2 + 144 = 169$
- $x^2 = 169 - 144$
- $x^2 = 25$
- $x = 5$ (Kenar uzunluğu pozitif olmalıdır.)
- Böylece, $\theta$ açısının karşı dik kenarı $5$ birimdir.
- Adım 5: İstenen kotanjant değerini hesaplama
- Şimdi bizden istenen $\cot(\theta)$ değerini bulalım. Kotanjantın tanımı, bir dik üçgende "komşu dik kenar / karşı dik kenar" şeklindedir.
- $\cot(\theta) = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{karşı dik kenar}} = \frac{12}{5}$.
Bu durumda, $\cot(\arccos\left(\frac{12}{13}\right))$ ifadesinin değeri $\frac{12}{5}$'tir.
Cevap B seçeneğidir.
