Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için benzer üçgenlerin temel özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Benzer üçgenlerde kenarlar, yükseklikler, çevreler gibi uzunluk oranları ile alanlar oranı arasında belirli bir ilişki vardır. Şimdi adım adım sorumuzu çözelim:
- 1. Adım: Verilenleri Anlayalım ve Benzerlik Oranını Belirleyelim
- Soruda bize iki benzer üçgenin yükseklikleri oranı verilmiş: $ \frac{\text{Küçük üçgenin yüksekliği}}{\text{Büyük üçgenin yüksekliği}} = \frac{3}{5} $.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların, yüksekliklerin, kenarortayların ve çevrelerin oranına benzerlik oranı denir. Bu oranı $k$ ile gösteririz.
- Yani, bu durumda benzerlik oranımız $k = \frac{3}{5}$'tir.
- 2. Adım: Alanlar Oranı Kuralını Hatırlayalım
- Benzer iki üçgenin benzerlik oranı $k$ ise, bu üçgenlerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
- Matematiksel olarak ifade edersek: $ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = k^2 $.
- 3. Adım: Alanlar Oranını Hesaplayalım
- Benzerlik oranımız $k = \frac{3}{5}$ olduğuna göre, alanlar oranını bulmak için bu oranın karesini almalıyız:
- $ k^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25} $.
- Yani, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranı $ \frac{9}{25} $'tir.
- 4. Adım: Büyük Üçgenin Alanını Bulalım
- Küçük üçgenin taban alanı $27 \text{ cm}^2$ olarak verilmiş. Büyük üçgenin alanına $A_B$ diyelim.
- Alanlar oranını kullanarak bir denklem kuralım:
- $ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = \frac{27}{A_B} = \frac{9}{25} $.
- Şimdi bu denklemi $A_B$ için çözelim:
- $ 9 \times A_B = 27 \times 25 $
- Her iki tarafı 9'a bölelim:
- $ A_B = \frac{27 \times 25}{9} $
- $27$ ile $9$ sadeleşir ($27 \div 9 = 3$):
- $ A_B = 3 \times 25 $
- $ A_B = 75 \text{ cm}^2 $.
Buna göre, büyük üçgenin taban alanı $75 \text{ cm}^2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
