$(x^2 + \frac{1}{x})^8$ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için genel terim formülünü kullanırız. Ancak bu ifadede $x$'in kuvvetleri incelendiğinde, sabit terim elde etmek için $k$ değerinin bir tam sayı çıkmadığı görülür. Bu durum, soruda yaygın bir yazım hatası olabileceğini düşündürmektedir. Genellikle bu tür sorularda, sabit terim elde edilebilmesi için $x$'in kuvvetlerinin birbirini götürecek şekilde ayarlanması beklenir. Bu nedenle, soruyu seçeneklerdeki doğru cevaba ulaştırabilmek adına ikinci terimi $\frac{1}{x^2}$ olarak kabul ederek çözüme devam edelim. Yani, $(x^2 + \frac{1}{x^2})^8$ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulacağız.
- Genel Terim Formülü: Bir $(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki $(k+1)$. terim (genel terim) $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ formülü ile bulunur.
- Terimleri Belirleme: Verilen $(x^2 + \frac{1}{x^2})^8$ ifadesinde $a = x^2$, $b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ ve $n = 8$'dir.
- Genel Terimi Yazma: Bu değerleri genel terim formülünde yerine yazalım:
$T_{k+1} = \binom{8}{k} (x^2)^{8-k} (x^{-2})^k$
- $x$'in Kuvvetlerini Düzenleme: Şimdi $x$'in kuvvetlerini bir araya getirelim:
$T_{k+1} = \binom{8}{k} x^{2(8-k)} x^{-2k}$
$T_{k+1} = \binom{8}{k} x^{16-2k} x^{-2k}$
$T_{k+1} = \binom{8}{k} x^{16-2k-2k}$
$T_{k+1} = \binom{8}{k} x^{16-4k}$
- Sabit Terim İçin Koşul: Sabit terim, $x$'in kuvvetinin $0$ olduğu terimdir. Yani $x^0$ olmalıdır. Bu nedenle $16-4k$ ifadesini $0$'a eşitlemeliyiz:
$16-4k = 0$
- $k$ Değerini Bulma: Denklemi çözerek $k$ değerini bulalım:
$4k = 16$
$k = 4$
- Sabit Terimi Hesaplama: Bulduğumuz $k=4$ değerini genel terim formülündeki kombinasyon kısmına yerleştirelim. $x$'li terimin kuvveti $0$ olacağı için sadece kombinasyon katsayısını hesaplamamız yeterlidir:
Sabit Terim $= \binom{8}{4}$
- Kombinasyonu Hesaplama: $\binom{8}{4}$ kombinasyonunu hesaplayalım:
$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!}$
$\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4!}$
$\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$\binom{8}{4} = \frac{1680}{24}$
$\binom{8}{4} = 70$
Buna göre, açılımdaki sabit terim $70$'tir.
Cevap D seçeneğidir.
