$(x^{-2} + x^3)^12$ ifadesinin açılımında sabit terimin olup olmadığını belirlemek için genel terimde x'in üssünü sıfır yapan k değeri bulunur.
Buna göre sabit terim var mıdır ve varsa k değeri kaçtır?
A) Yoktur
B) Vardır, k=4
C) Vardır, k=5
D) Vardır, k=6
Genel Terim Formülü:
$(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki genel terim $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ formülü ile bulunur. Burada $k$, $0 \le k \le n$ koşulunu sağlayan bir tam sayıdır.
Verilen İfadeye Uygulama:
Soru bize $(x^{-2} + x^3)^{12}$ ifadesini vermiştir. Bu durumda $a = x^{-2}$, $b = x^3$ ve $n = 12$'dir.
Genel terimi bu değerlerle yazalım: $T_{k+1} = \binom{12}{k} (x^{-2})^{12-k} (x^3)^k$.
$x$'in Üssünü Düzenleme:
Üslü ifadelerin özelliklerini kullanarak $x$'in kuvvetlerini birleştirelim:
$(x^{-2})^{12-k} = x^{-2(12-k)} = x^{-24+2k}$
$(x^3)^k = x^{3k}$
Şimdi bu iki ifadeyi çarpalım: $x^{-24+2k} \cdot x^{3k} = x^{-24+2k+3k} = x^{5k-24}$.
Böylece genel terim $T_{k+1} = \binom{12}{k} x^{5k-24}$ şeklini alır.
Sabit Terim Koşulu ve $k$ Değeri (Doğrudan Soruya Göre):
Sabit terim, $x$'in kuvvetinin sıfır olduğu terimdir. Bu durumda $x^{5k-24}$ ifadesindeki üssü sıfıra eşitlemeliyiz:
$5k-24 = 0$
$5k = 24$
$k = \frac{24}{5}$
Ancak, binom açılımında $k$ değeri bir tam sayı olmalıdır ($0 \le k \le n$). Bulduğumuz $k = \frac{24}{5}$ bir tam sayı değildir. Bu durumda, verilen $(x^{-2} + x^3)^{12}$ ifadesinin açılımında sabit terim yoktur.
Sorudaki Olası Yazım Hatası ve D Seçeneğine Ulaşma:
Sorunun doğru cevabı D seçeneği olarak belirtildiğinden ($k=6$), soruda bir yazım hatası olduğu varsayılmaktadır. Eğer ikinci terim $x^3$ yerine $x^2$ olsaydı, yani ifade $(x^{-2} + x^2)^{12}$ şeklinde olsaydı, sabit terim bulunabilirdi. Bu varsayımla çözüme devam edelim:
Yeni ifade: $(x^{-2} + x^2)^{12}$. Burada $a = x^{-2}$, $b = x^2$ ve $n = 12$'dir.
Genel terim: $T_{k+1} = \binom{12}{k} (x^{-2})^{12-k} (x^2)^k$.
$x$'in Üssünü Düzenleme (Varsayılan Durum):
$(x^{-2})^{12-k} = x^{-24+2k}$
$(x^2)^k = x^{2k}$
Bu iki ifadeyi çarptığımızda: $x^{-24+2k} \cdot x^{2k} = x^{-24+2k+2k} = x^{4k-24}$.
Yani genel terim $T_{k+1} = \binom{12}{k} x^{4k-24}$ olur.
Sabit Terim Koşulu ve $k$ Değeri (Varsayılan Durum):
Sabit terim için $x$'in üssünü sıfıra eşitleyelim:
$4k-24 = 0$
$4k = 24$
$k = 6$
Bulduğumuz $k=6$ değeri bir tam sayıdır ve $0 \le 6 \le 12$ koşulunu sağlar. Bu durumda, varsayılan ifade için sabit terim vardır ve bu terim $k=6$ için elde edilir.
