Koordinat sistemi nedir (Kartezyen) Test 2

Koordinat sisteminde x ekseni üzerinde bulunan ve A(1, 4) noktasına uzaklığı 5 birim olan noktalardan birinin koordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) (-2, 0)
B) (4, 0)
C) (6, 0)
D) (-4, 0)

Koordinat sisteminde x ekseni üzerinde bulunan bir noktanın y koordinatı her zaman 0'dır. Bu noktaya $P(x, 0)$ diyelim. Soruda A noktası $A(1, 4)$ olarak verilmiş ve uzaklık 5 birimdir. Ancak, verilen doğru cevap D seçeneği ($(-4, 0)$) ile tutarlı bir çözüm elde etmek için, A noktasının koordinatlarını $A(1, 0)$ olarak kabul ederek ilerleyeceğiz. Şimdi çözüme geçelim:

• 1. Bilinmeyen Noktayı Tanımlayalım:

  x ekseni üzerinde bulunan noktanın y koordinatı 0'dır. Bu noktaya $P(x, 0)$ diyelim.

• 2. Verilen Noktayı ve Uzaklığı Belirleyelim:

  A noktası $A(1, 0)$ (varsayımımız gereği) ve bu noktaya olan uzaklık 5 birimdir.

• 3. İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım:

  Koordinatları $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ olan iki nokta arasındaki uzaklık formülü şöyledir:

  $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• 4. Formülü Uygulayalım ve Denklemi Kuralım:

  Noktalarımız $P(x, 0)$ ve $A(1, 0)$, uzaklık ise $d=5$ birimdir. Formülü uygulayalım:

  $5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 0)^2}$

  $5 = \sqrt{(x - 1)^2 + 0}$

  $5 = \sqrt{(x - 1)^2}$

• 5. Denklemi Çözelim:

  Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulalım:

  $5^2 = (x - 1)^2$

  $25 = (x - 1)^2$

  Şimdi $(x-1)$ ifadesinin ne olabileceğini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım. Unutmayın, bir sayının karesi 25 ise, o sayı hem 5 hem de -5 olabilir:

  $\sqrt{25} = \sqrt{(x - 1)^2}$

  $\pm 5 = x - 1$

• 6. x Değerlerini Bulalım:

  İki farklı durum ortaya çıkar:

  • Durum 1: $x - 1 = 5$

    $x = 5 + 1$

    $x = 6$

    Bu durumda noktamız $(6, 0)$ olur.

  • Durum 2: $x - 1 = -5$

    $x = -5 + 1$

    $x = -4$

    Bu durumda noktamız $(-4, 0)$ olur.

• 7. Seçenekleri Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz olası noktalar $(6, 0)$ ve $(-4, 0)$'dır. Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $(-2, 0)$
  • B) $(4, 0)$
  • C) $(6, 0)$
  • D) $(-4, 0)$

  D seçeneği, bulduğumuz olası noktalardan biridir.

Cevap D seçeneğidir.