Polinom Nedir?
Polinom, belirli kurallara uyan cebirsel bir ifadedir. Gerçek sayılar ve bir değişkenin (genellikle \( x \)) doğal sayı kuvvetlerinin çarpımlarının toplamı şeklinde yazılabilir.
Polinom Olma Koşulları
Bir ifadenin polinom olabilmesi için aşağıdaki koşulların tamamını sağlaması gerekir:
- Değişkenin Kuvvetleri Doğal Sayı Olmalıdır: Polinomdaki değişkenin (örneğin \( x \)) üsleri 0, 1, 2, 3,... gibi doğal sayılar olmalıdır. Kesirli, negatif veya değişkenli ifadeler polinom oluşturmaz.
- Değişkenler Kök İçinde Bulunmamalıdır: İfadede değişken, bir kök işleminin (karekök, küpkök vb.) içinde yer almamalıdır.
- Değişkenler Paydada Bulunmamalıdır: İfadenin paydasında değişken olmamalıdır.
- Değişkenler Üstel, Logaritmik veya Trigonometrik Fonksiyon İçinde Olmamalıdır: Örneğin, \( 2^x \), \( \sin(x) \) veya \( \ln(x) \) gibi ifadeler polinom değildir.
Polinom Örnekleri
- Polinom Olan İfadeler:
- \( P(x) = 5 \) (Sabit polinom, üs 0'dır)
- \( Q(x) = 3x - 7 \) (Üsler 1 ve 0'dır)
- \( R(x) = 4x^3 - x^2 + \frac{1}{2}x + \sqrt{5} \) (Tüm katsayılar reel sayı, tüm üsler doğal sayıdır)
- Polinom Olmayan İfadeler:
- \( \frac{1}{x} + 2 \) (Değişken paydada)
- \( \sqrt{x} + 5 \) (Değişken kök içinde, üs \( \frac{1}{2} \))
- \( x^{-2} + x \) (Negatif üs)
- \( 2^x \) (Üstel ifade)
- \( x^{\pi} + 1 \) (Üs irrasyonel sayı)
Özet
Bir ifadenin polinom olması için, değişkenlerin üslerinin doğal sayı olması ve değişkenlerin paydada, kök içinde veya herhangi bir özel fonksiyonun (üs, logaritma, trigonometri) içinde bulunmaması gerekir. Katsayılar ise herhangi bir reel sayı olabilir.
