ABCD paralelkenarında |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm ve köşegen uzunlukları |AC| = 10 cm, |BD| = x cm'dir. Buna göre x kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
Bu soruda bir paralelkenarın kenar uzunlukları ve bir köşegen uzunluğu verilmiş, diğer köşegen uzunluğu istenmektedir. Paralelkenarlarda kenar uzunlukları ile köşegen uzunlukları arasındaki ilişkiyi gösteren özel bir formül olan Paralelkenar Özdeşliği (veya Paralelkenar Kanunu) kullanılır.
Paralelkenar Özdeşliği: Bir paralelkenarın kenar uzunlukları $a$ ve $b$, köşegen uzunlukları $d_1$ ve $d_2$ ise, bu uzunluklar arasında aşağıdaki ilişki geçerlidir:
$2a^2 + 2b^2 = d_1^2 + d_2^2$
Şimdi bu formülü sorumuzdaki değerlerle adım adım uygulayalım:
- Verilen paralelkenar ABCD'dir.
- Kenar uzunlukları: $|AB| = 8$ cm ve $|BC| = 6$ cm'dir. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu değerleri $a=8$ ve $b=6$ olarak alabiliriz.
- Köşegen uzunlukları: $|AC| = 10$ cm ve $|BD| = x$ cm'dir. Bu değerleri $d_1=10$ ve $d_2=x$ olarak alabiliriz.
- Bu değerleri paralelkenar özdeşliği formülünde yerine yazalım:
- $2 \cdot (8)^2 + 2 \cdot (6)^2 = (10)^2 + x^2$
- Öncelikle kare alma işlemlerini yapalım:
- $2 \cdot 64 + 2 \cdot 36 = 100 + x^2$
- Şimdi çarpma işlemlerini gerçekleştirelim:
- $128 + 72 = 100 + x^2$
- Eşitliğin sol tarafındaki toplama işlemini yapalım:
- $200 = 100 + x^2$
- $x^2$ değerini yalnız bırakmak için 100'ü eşitliğin diğer tarafına (sol tarafa) çıkararak geçirelim:
- $x^2 = 200 - 100$
- $x^2 = 100$
- $x$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $x = \sqrt{100}$
- $x = 10$ cm bulunur.
Bu durumda, paralelkenarın diğer köşegen uzunluğu $x = 10$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
