sin(ax) / tan(bx) limiti kuralı

Question

Bu limiti çözerken pay ve paydayı sıfır yapan değerler geliyor ve 0/0 belirsizliği oluşuyor. Sinüs ve tanjantın açılımlarını kullanmayı denedim ama a ve b katsayıları olduğunda nasıl bir yol izlemem gerektiğini tam anlayamadım. Özellikle tan(bx)'i sin(bx)/cos(bx) şeklinde yazınca işler karışıyor gibi geliyor.

Answer 1

📐 sin(ax) / tan(bx) Limiti Kuralı

Bu kural, trigonometrik limit problemlerinde sıkça karşılaşılan ve limit değerinin belirsizlik olmadan bulunmasını sağlayan önemli bir yöntemdir.

🎯 Temel Prensip

Limit x → 0 iken sin(ax) ve tan(bx) ifadeleri birbirine yaklaşır ve oranları belirli bir değere eşit olur:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\tan(bx)} = \frac{a}{b} \]

🔍 Kuralın İspatı

Bu kuralı ispatlamak için temel trigonometrik limitleri kullanırız:

• 📌 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1\)
• 📌 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{kx} = 1\)

İspat adımları:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\tan(bx)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{1} \cdot \frac{1}{\tan(bx)} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{1} \cdot \frac{\cos(bx)}{\sin(bx)} \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} \cdot \cos(bx) \]

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(ax)}{ax} \cdot ax}{\frac{\sin(bx)}{bx} \cdot bx} \cdot \cos(bx) \]

\[ = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} \cdot 1 = \frac{a}{b} \]

💡 Önemli Notlar

• ✅ Bu kural sadece x → 0 limiti için geçerlidir
• ✅ Pay ve paydadaki açılar farklı olabilir (a ve b)
• ✅ Paydadaki tan(bx) yerine sin(bx)/cos(bx) yazılarak da çözülebilir
• ✅ cos(bx) ifadesi x → 0 iken 1'e eşit olduğundan sonuç değişmez

📝 Örnek Problemler

🎯 Örnek 1:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)} = \frac{3}{2} \]

🎯 Örnek 2:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\tan(x)} = \frac{5}{1} = 5 \]

🎯 Örnek 3:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\tan(4x)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🚨 Limit x → 0 değilse bu kural geçersizdir
• 🚨 Pay veya paydada ek terimler varsa kural doğrudan uygulanamaz
• 🚨 Belirsizlik durumunda L'Hôpital kuralı kullanılabilir