Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle logaritma denklemlerini nasıl çözeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Logaritma denklemlerini çözerken dikkat etmemiz gereken bazı önemli kurallar ve özellikler var. Hazırsanız başlayalım!
- 1. Adım: Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim
- Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. Denkleminizde $\log(x-2)$ ifadesi bulunmaktadır. Bu ifadenin tanımlı olabilmesi için $x-2 > 0$ olmalıdır. Buradan $x > 2$ sonucunu elde ederiz. Bulduğumuz çözümün bu koşulu sağlayıp sağlamadığını en son kontrol edeceğiz.
- 2. Adım: Logaritma Özelliklerini Uygulayalım
- Denklemimiz $\log(x-2) - \log2 = \log5$ şeklindedir. Logaritmanın önemli özelliklerinden biri olan $\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ özelliğini denklemin sol tarafına uygulayalım.
- Bu özelliği uyguladığımızda, denklemin sol tarafı $\log \left(\frac{x-2}{2}\right)$ haline gelir.
- Denklemimiz şimdi şu şekli alır: $\log \left(\frac{x-2}{2}\right) = \log5$.
- 3. Adım: Denklemi Sadeleştirelim
- Eğer $\log A = \log B$ şeklinde bir eşitliğimiz varsa, logaritma fonksiyonu birebir olduğu için $A = B$ diyebiliriz (tabanlar aynı olmak koşuluyla, ki burada ortak logaritma yani 10 tabanı kullanılıyor).
- Bu durumda, $\frac{x-2}{2} = 5$ eşitliğini yazabiliriz.
- 4. Adım: $x$ Değerini Bulalım
- Şimdi basit bir doğrusal denklem çözme işlemine geçelim. Eşitliğin her iki tarafını $2$ ile çarpalım:
- $x-2 = 5 \times 2$
- $x-2 = 10$
- Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına $2$ ekleyelim:
- $x = 10 + 2$
- $x = 12$
- 5. Adım: Çözümü Tanım Kümesiyle Karşılaştıralım
- İlk adımda logaritmanın tanımlı olması için $x > 2$ olması gerektiğini bulmuştuk. Bulduğumuz $x = 12$ değeri, $2$'den büyüktür ($12 > 2$). Bu nedenle çözümümüz geçerlidir.
- 6. Adım: Çözüm Kümesini Yazalım
- Denklemin çözüm kümesi, bulduğumuz geçerli $x$ değerinden oluşur.
- Çözüm kümesi $\{12\}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
