Soru:
\(\log_5 (x + 1) + \log_5 (x - 2) = 1\) denklemini çözünüz.
Çözüm:
💡 Önce logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi birleştirelim.
- ➡️ Toplam kuralı: \(\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)\). Buradan, \(\log_5 [(x+1)(x-2)] = 1\)
- ➡️ Üstel forma çevirelim: \((x+1)(x-2) = 5^1\)
- ➡️ İşlemleri yapalım: \(x^2 - 2x + x - 2 = 5\) → \(x^2 - x - 2 = 5\)
- ➡️ Denklemi sıfıra eşitleyelim: \(x^2 - x - 7 = 0\)
- ➡️ Diskriminant ile çözelim: \(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29\)
- ➡️ \(x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\)
✅ Tanım Kümesi Kontrolü: Logaritmanın içi pozitif olmalı. \(x+1>0\) ve \(x-2>0\) → \(x>2\). \(\frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx -2.19\) (❌ Elenir). \(\frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx 3.19\) (✅ Kabul edilir). Sonuç: \(x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}\)
