Soru:
\(\log_2 (x^2 - 6x) = 3 + \log_2 (1 - x)\) denklemini çözünüz.
Çözüm:
💡 Logaritmaları aynı tarafa toplayıp, tek logaritma haline getirelim.
- ➡️ Denklemi \(\log_2 (x^2 - 6x) - \log_2 (1 - x) = 3\) şeklinde yazalım.
- ➡️ Bölüm kuralını uygulayalım: \(\log_2 \left( \frac{x^2 - 6x}{1 - x} \right) = 3\)
- ➡️ Üstel forma çevirelim: \(\frac{x^2 - 6x}{1 - x} = 2^3 = 8\)
- ➡️ İçler-dışlar çarpımı: \(x^2 - 6x = 8(1 - x)\)
- ➡️ Denklemi açalım: \(x^2 - 6x = 8 - 8x\)
- ➡️ Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \(x^2 - 6x - 8 + 8x = 0\) → \(x^2 + 2x - 8 = 0\)
- ➡️ Çarpanlarına ayıralım: \((x + 4)(x - 2) = 0\)
- ➡️ \(x = -4\) veya \(x = 2\)
✅ Tanım Kümesi Kontrolü: Logaritmanın içi pozitif olmalı.
- \(x^2 - 6x > 0\) → \(x(x - 6) > 0\) → \(x < 0\) veya \(x > 6\)
- \(1 - x > 0\) → \(x < 1\)
İki koşulu birlikte sağlayan aralık: \(x < 0\). \(x = -4\) bu koşulu sağlar (✅). \(x = 2\) sağlamaz (❌). Sonuç: \(x = -4\)
