Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan öteleme işlemlerinin, fonksiyonun tanım kümesini nasıl etkilediğini adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Orijinal Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleyelim
-
Orijinal fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x}$'tir.
Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
Bu durumda, $x \ge 0$ olmalıdır.
Dolayısıyla, $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun tanım kümesi $[0, \infty)$'dur.
- Adım 2: Fonksiyon Öteleme Kurallarını Hatırlayalım
-
Bir $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan öteleme işlemleri şu şekildedir:
- $x$ ekseni boyunca $k$ birim sağa öteleme: Fonksiyonun kuralı $f(x-k)$ olur.
- $x$ ekseni boyunca $k$ birim sola öteleme: Fonksiyonun kuralı $f(x+k)$ olur.
- $y$ ekseni boyunca $m$ birim yukarı öteleme: Fonksiyonun kuralı $f(x) + m$ olur.
- $y$ ekseni boyunca $m$ birim aşağı öteleme: Fonksiyonun kuralı $f(x) - m$ olur.
- Adım 3: Öteleme İşlemlerini Uygulayarak Yeni Fonksiyonu Bulalım
-
Orijinal fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x}$ idi.
- Önce $x$ ekseni boyunca 3 birim sağa öteleyelim. Bu, $x$ yerine $(x-3)$ yazmamız gerektiği anlamına gelir. Fonksiyon $\sqrt{x-3}$ haline gelir.
- Şimdi de $y$ ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleyelim. Bu, fonksiyona $+2$ eklememiz gerektiği anlamına gelir. Fonksiyon $\sqrt{x-3} + 2$ haline gelir.
Böylece, ötelenmiş yeni fonksiyonumuz $g(x) = \sqrt{x-3} + 2$ olur.
- Adım 4: Yeni Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleyelim
-
Yeni fonksiyonumuz $g(x) = \sqrt{x-3} + 2$'dir.
Yine karekökün tanımlı olması için, karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, $(x-3)$ ifadesi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
$x-3 \ge 0$
Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafa 3 ekleyelim:
$x \ge 3$
Bu durumda, yeni fonksiyonun tanım kümesi $[3, \infty)$'dur.
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım
-
Bulduğumuz tanım kümesi $[3, \infty)$'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade C seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
