Kütle çekim kanunu nedir Test 1

Bir uydu Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanmaktadır. Uydunun yörünge yarıçapı dört katına çıkarıldığında, yörünge hızı nasıl değişir?

A) İki katına çıkar
B) Yarıya iner
C) Dört katına çıkar
D) Dörtte birine iner

Bir uydunun Dünya çevresindeki dairesel yörünge hareketini inceleyelim ve yörünge yarıçapı değiştiğinde hızının nasıl etkilendiğini adım adım açıklayalım.

• 1. Adım: Uydunun Üzerindeki Kuvvetleri Anlayalım
• Bir uydu dairesel bir yörüngede dolanırken, üzerine etki eden iki temel kuvvet vardır: Kütle Çekim Kuvveti ve Merkezcil Kuvvet.
• Kütle Çekim Kuvveti (Gravitasyonel Kuvvet): Dünya ile uydu arasındaki çekim kuvvetidir. Bu kuvvet, Newton'ın Evrensel Kütle Çekim Yasası ile verilir: $F_g = G \frac{M m}{r^2}$. Burada $G$ evrensel çekim sabiti, $M$ Dünya'nın kütlesi, $m$ uydunun kütlesi ve $r$ yörünge yarıçapıdır.
• Merkezcil Kuvvet: Uydunun dairesel yörüngede kalmasını sağlayan, merkeze doğru yönelmiş kuvvettir. Bu kuvvetin büyüklüğü: $F_c = \frac{m v^2}{r}$. Burada $m$ uydunun kütlesi, $v$ uydunun yörünge hızı ve $r$ yörünge yarıçapıdır.
• 2. Adım: Kuvvetleri Eşitleyelim
• Uydunun kararlı bir dairesel yörüngede kalabilmesi için, kütle çekim kuvveti merkezcil kuvveti sağlamalıdır. Yani $F_g = F_c$ olmalıdır.
• Bu durumda, $G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$ denklemini yazarız.
• 3. Adım: Yörünge Hızı Formülünü Türetelim
• Yukarıdaki denklemde uydunun kütlesi ($m$) her iki taraftan sadeleşir. Ayrıca yörünge yarıçapı ($r$) da sadeleştirilerek yörünge hızı ($v$) için bir ifade elde ederiz:
• Denklemi basitleştirirsek: $G \frac{M}{r} = v^2$
• Her iki tarafın karekökünü alarak yörünge hızını buluruz: $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$
• Bu formül bize, bir uydunun yörünge hızının, Dünya'nın kütlesine ($M$) ve yörünge yarıçapına ($r$) nasıl bağlı olduğunu gösterir. $G$ ve $M$ sabit değerler olduğundan, hız sadece yörünge yarıçapına bağlıdır.
• 4. Adım: Yarıçap Değişiminin Hıza Etkisini İnceleyelim
• Soruda, yörünge yarıçapının dört katına çıkarıldığı belirtiliyor. Yani yeni yarıçap $r_{yeni} = 4r_{eski}$ olur. Bu durumu hız formülünde yerine koyalım:
• Yeni hız formülü: $v_{yeni} = \sqrt{\frac{G M}{r_{yeni}}}$
• $r_{yeni}$ yerine $4r_{eski}$ yazarsak: $v_{yeni} = \sqrt{\frac{G M}{4r_{eski}}}$
• Bu ifadeyi düzenlersek: $v_{yeni} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{G M}{r_{eski}}}$
• Karekök dışına çıkarırsak: $v_{yeni} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \sqrt{\frac{G M}{r_{eski}}}$
• Burada $\sqrt{\frac{G M}{r_{eski}}}$ ifadesi eski hıza ($v_{eski}$) eşittir. Yani: $v_{yeni} = \frac{1}{2} \cdot v_{eski}$
• Sonuç: Yörünge yarıçapı dört katına çıkarıldığında, uydunun yörünge hızı yarıya iner.

Cevap B seçeneğidir.