10. Sınıf Mükemmel Sayı Nedir? Test 1

Bir sayının mükemmel sayı olabilmesi için aşağıdaki koşullardan hangisi kesinlikle gereklidir?

A) Sayının rakamları toplamının 10'dan büyük olması
B) Sayının çift olması
C) Sayının asal çarpanlarına ayrılabilmesi
D) Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamının sayıya eşit olması

Sevgili öğrenciler, mükemmel sayı kavramını anlamak ve bu soruyu doğru cevaplamak için seçenekleri tek tek inceleyelim ve mükemmel sayıların matematiksel tanımını hatırlayalım.

• A) Sayının rakamları toplamının 10'dan büyük olması

  Bu koşul, bir sayının mükemmel sayı olup olmadığını belirlemek için kullanılan matematiksel bir kural değildir. Sayının rakamları toplamı, sayının mükemmel olup olmadığıyla doğrudan ilgili değildir. Örneğin, ilk mükemmel sayı olan 6'nın rakamları toplamı $6$'dır ve $10$'dan büyük değildir. Bu nedenle, bu seçenek kesinlikle gerekli bir koşul değildir.

• B) Sayının çift olması

  Şu ana kadar bulunan tüm mükemmel sayılar çifttir (örneğin 6, 28, 496, 8128). Ancak, matematiğin çözülememiş en büyük problemlerinden biri, tek mükemmel sayıların var olup olmadığıdır. Yani, bir sayının mükemmel sayı olabilmesi için kesinlikle çift olması gerektiği, tanımın bir parçası değildir ve henüz kanıtlanmamıştır. Bu nedenle, bu koşul kesinlikle gerekli değildir, sadece gözlemlenen bir özelliktir.

• C) Sayının asal çarpanlarına ayrılabilmesi

  1'den büyük her tam sayı, asal çarpanlarına ayrılabilir (Matematiğin Temel Teoremi). Bu, sadece mükemmel sayılara özgü bir durum değil, tüm tam sayılar için geçerli bir özelliktir. Dolayısıyla, bu koşul mükemmel sayı tanımının ayırt edici bir parçası değildir ve kesinlikle gerekli bir özellik olsa da, mükemmel sayılara özgü değildir.

• D) Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamının sayıya eşit olması

  İşte bu, bir mükemmel sayının tanımıdır! Bir sayının mükemmel sayı olabilmesi için, kendisi dışındaki tüm pozitif bölenlerinin (çarpanlarının) toplamının o sayının kendisine eşit olması gerekir. Bu koşul, mükemmel sayı olmanın temel ve kesinlikle gerekli şartıdır. Şimdi örneklere bakalım:

  Örneğin, 6 sayısının pozitif bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Kendisi hariç bölenleri 1, 2, 3'tür. Bu bölenlerin toplamı $1 + 2 + 3 = 6$'dır. Gördüğünüz gibi, toplam sayının kendisine eşittir, bu yüzden 6 bir mükemmel sayıdır.

  Bir başka örnek olarak, 28 sayısının pozitif bölenleri 1, 2, 4, 7, 14 ve 28'dir. Kendisi hariç bölenleri 1, 2, 4, 7, 14'tür. Bu bölenlerin toplamı $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$'dir. Bu da 28'in bir mükemmel sayı olduğunu gösterir.

Bu açıklamalar ışığında, bir sayının mükemmel sayı olabilmesi için kesinlikle gerekli olan koşul, tanımın kendisidir.

Cevap D seçeneğidir.