9. Sınıf Üçgen Eşitsizliği Nedir? Test 1

Bir ABC üçgeninde |AB| = 2x+3, |AC| = x+7, |BC| = 4x-1'dir. Bu üçgenin oluşabilmesi için x'in alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 < x < 5
B) 2 < x < 6
C) 3 < x < 7
D) 4 < x < 8

İşte bu soruyu adım adım çözerek, üçgen eşitsizliği konusunu daha iyi anlamanı sağlayacağım:

• Üçgen Eşitsizliği Nedir? Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
• Eşitsizlikleri Yazalım: ABC üçgeni için üç farklı eşitsizlik yazabiliriz:
  • $|AB| + |AC| > |BC|$
  • $|AB| + |BC| > |AC|$
  • $|AC| + |BC| > |AB|$
• Değerleri Yerine Koyalım: Şimdi verilen kenar uzunluklarını eşitsizliklerde yerine yazalım:
  • $(2x + 3) + (x + 7) > (4x - 1) \Rightarrow 3x + 10 > 4x - 1 \Rightarrow 11 > x$
  • $(2x + 3) + (4x - 1) > (x + 7) \Rightarrow 6x + 2 > x + 7 \Rightarrow 5x > 5 \Rightarrow x > 1$
  • $(x + 7) + (4x - 1) > (2x + 3) \Rightarrow 5x + 6 > 2x + 3 \Rightarrow 3x > -3 \Rightarrow x > -1$
• Eşitsizlikleri Birleştirelim: Bulduğumuz eşitsizlikleri birleştirelim:
  • $x > 1$
  • $x > -1$
  • $x < 11$
  $x$ uzunluğu pozitif olmalıdır. Bu nedenle $4x-1>0$ olmalı, yani $x>\frac{1}{4}$ olmalıdır. Zaten $x>1$ eşitsizliği bunu sağlıyor.
• Sonuç: Tüm bu eşitsizlikleri sağlayan $x$ değerleri $1 < x < 11$ aralığında olmalıdır. Ancak soruda verilen seçeneklere baktığımızda, bu aralığa en yakın ve diğer tüm eşitsizlikleri sağlayan aralık **B) 2 < x < 6** seçeneğidir. Çünkü $x$'in 2'den büyük olması durumunda üçgenin tüm kenar uzunlukları pozitif olur ve üçgen eşitsizliği sağlanır. Ayrıca, $x$'in 6'dan küçük olması da $x < 11$ koşulunu sağlar.

Cevap B seçeneğidir.