Birim çember üzerinde, apsis değeri ordinat değerinin 2 katına eşit olan bir nokta bulunmaktadır. Buna göre bu noktaya karşılık gelen açının kotanjant değeri kaçtır?
A) 1/2Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik değerlerle ilişkisini daha iyi anlayalım.
Birim çember, merkezi başlangıç noktasında $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Birim çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları $(x, y)$ ise, bu nokta için $x^2 + y^2 = 1$ denklemi geçerlidir. Ayrıca, bu noktaya karşılık gelen açının $\theta$ olduğunu düşünürsek, $x = \cos\theta$ ve $y = \sin\theta$ olduğunu biliyoruz.
Soruda bize verilen bilgi, noktanın apsis değerinin (x-koordinatı) ordinat değerinin (y-koordinatı) 2 katına eşit olduğudur. Matematiksel olarak bunu $x = 2y$ şeklinde ifade edebiliriz.
Şimdi, $x = 2y$ eşitliğini birim çember denklemi olan $x^2 + y^2 = 1$ denkleminde yerine yazalım:
$(2y)^2 + y^2 = 1$
$4y^2 + y^2 = 1$
$5y^2 = 1$
$y^2 = \frac{1}{5}$
Buradan $y$ için iki olası değer buluruz: $y = \frac{1}{\sqrt{5}}$ veya $y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Bu $y$ değerlerini kullanarak $x$ değerlerini bulalım:
Eğer $y = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ise, $x = 2y = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ olur.
Eğer $y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ ise, $x = 2y = 2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{5}}) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ olur.
Yani, birim çember üzerinde bu koşulu sağlayan iki nokta vardır: $(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ ve $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$.
Bir açının kotanjant değeri, $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ formülüyle bulunur. Birim çember üzerinde bir noktanın koordinatları $(x, y)$ ise, $\cos\theta = x$ ve $\sin\theta = y$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, $\cot\theta = \frac{x}{y}$ olarak da ifade edebiliriz.
Her iki nokta için de kotanjant değerini hesaplayalım:
Birinci nokta $(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ için:
$\cot\theta = \frac{x}{y} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{1} = 2$
İkinci nokta $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$ için:
$\cot\theta = \frac{x}{y} = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{-2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{-1} = 2$
Gördüğümüz gibi, her iki durumda da kotanjant değeri $2$ çıkmaktadır. Bu durum, açının birinci veya üçüncü bölgede olmasına bağlı olarak $x$ ve $y$ işaretlerinin aynı olmasından kaynaklanır. Her iki durumda da oran aynı kalır.
Bu durumda, noktaya karşılık gelen açının kotanjant değeri $2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
