cot(α) = -√3 ve α açısı 180° ile 270° arasında olduğuna göre, α açısı kaç derecedir?
A) 210°Bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözerek trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özel açılar hakkındaki bilgimizi pekiştirelim.
Kotanjant fonksiyonu, bir açının komşu dik kenarının karşı dik kenarına oranıdır, yani $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Trigonometrik fonksiyonların işaretleri, açının bulunduğu bölgeye göre değişir:
1. Bölge ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): Tüm fonksiyonlar pozitiftir.
2. Bölge ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): Sadece sinüs pozitif, $\cot(\alpha)$ negatiftir.
3. Bölge ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): Tanjant ve kotanjant pozitif, $\cot(\alpha)$ pozitiftir.
4. Bölge ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): Sadece kosinüs pozitif, $\cot(\alpha)$ negatiftir.
Soruda bize $\cot(\alpha) = -\sqrt{3}$ verilmiş. Bu değer negatiftir.
Ayrıca $\alpha$ açısının $180^\circ$ ile $270^\circ$ arasında olduğu belirtilmiş. Bu aralık 3. Bölge'dir.
Ancak, Adım 1'deki bilgilerimize göre 3. Bölge'deki bir açının kotanjant değeri pozitif olmalıdır. Soruda verilen $\cot(\alpha) = -\sqrt{3}$ değeri ise negatiftir. Bu durum, sorunun verilen bilgileri arasında bir çelişki olduğunu göstermektedir.
Sorunun doğru cevabına (A seçeneği $210^\circ$) ulaşabilmek ve $\alpha$ açısının 3. Bölge'de olmasını sağlamak için, kotanjant değerinin aslında pozitif olarak kastedildiğini varsaymamız gerekmektedir. Yani, sorunun "$\cot(\alpha) = \sqrt{3}$ ve $\alpha$ açısı $180^\circ$ ile $270^\circ$ arasında" şeklinde olması beklenirdi. Bu varsayımla çözüme devam edelim.
Varsayımımıza göre $\cot(\alpha) = \sqrt{3}$ (pozitif değer). Hangi açının kotanjantı $\sqrt{3}$'tür? Bu, özel açılardan $30^\circ$'dir.
Yani, referans açımız $\alpha_R = 30^\circ$'dir.
$\alpha$ açısı 3. Bölge'de ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$) ve referans açımız $30^\circ$'dir.
3. Bölge'deki bir açıyı bulmak için $180^\circ$'ye referans açıyı ekleriz:
$\alpha = 180^\circ + \alpha_R$
$\alpha = 180^\circ + 30^\circ$
$\alpha = 210^\circ$
Bulduğumuz $\alpha = 210^\circ$ açısı, $180^\circ$ ile $270^\circ$ aralığındadır ve 3. Bölge'dedir.
Varsayımımıza göre $\cot(210^\circ) = \cot(180^\circ + 30^\circ) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3}$ olur. Bu değer, varsaydığımız pozitif kotanjant değeriyle uyumludur ve seçenek A ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
