Eşkenar üçgen ağırlık merkezi nedir? Test 2

Kenar uzunluğu 12 cm olan bir eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin bir köşeye uzaklığı kaç cm'dir?

A) 4√3
B) 6√3
C) 8√3
D) 12√3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, eşkenar üçgenlerin önemli özelliklerinden biri olan ağırlık merkezi ve köşelere olan uzaklıklarını inceleyeceğiz. Bu tür soruları çözerken adım adım ilerlemek, konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır. Haydi başlayalım!

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Temel Bilgileri Hatırlayalım

  Sorumuz, kenar uzunluğu $12$ cm olan bir eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin bir köşeye olan uzaklığını bulmamızı istiyor.

  Eşkenar üçgenin temel özellikleri şunlardır:

  • Tüm kenar uzunlukları eşittir. (Burada $12$ cm)
  • Tüm iç açıları $60^\circ$ dir.
  • Eşkenar üçgende ağırlık merkezi, aynı zamanda diklik merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve çevrel çemberin merkezidir.
  • Ağırlık merkezi, kenarortayların kesişim noktasıdır.
  • Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani köşeye yakın olan kısım, kenara yakın olan kısmın iki katıdır.
• 2. Adım: Kenarortay (Yükseklik) Uzunluğunu Bulalım

  Eşkenar üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen kenarortay, aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır. Bu sayede bir dik üçgen oluşur.

  Üçgenimizin kenar uzunluğu $a = 12$ cm olsun. Bir köşeden karşı kenara yükseklik çizdiğimizde, bu yükseklik karşı kenarı iki eşit parçaya böler. Yani $12 / 2 = 6$ cm'lik iki parça oluşur.

  Şimdi, oluşan dik üçgende Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. Hipotenüs $12$ cm, bir dik kenar $6$ cm ve diğer dik kenar (yükseklik) $h$ olsun:

  $h^2 + 6^2 = 12^2$

  $h^2 + 36 = 144$

  $h^2 = 144 - 36$

  $h^2 = 108$

  $h = \sqrt{108}$

  $h = \sqrt{36 \times 3}$

  $h = 6\sqrt{3}$ cm

  Bu yükseklik, aynı zamanda eşkenar üçgenin bir kenarortayının uzunluğudur.

  Alternatif Yöntem (30-60-90 Üçgeni): Eşkenar üçgenin yüksekliği, onu iki tane $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenine ayırır. $90^\circ$'nin karşısı $12$ cm ise, $30^\circ$'nin karşısı $6$ cm ve $60^\circ$'nin karşısı $6\sqrt{3}$ cm olur. Yani yükseklik $6\sqrt{3}$ cm'dir.

• 3. Adım: Ağırlık Merkezinin Köşeye Uzaklığını Bulalım

  Ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, kenarortayın uzunluğu $h$ ise, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı $\frac{2}{3}h$ ve kenara olan uzaklığı $\frac{1}{3}h$ olacaktır.

  Bizim bulduğumuz kenarortay (yükseklik) uzunluğu $h = 6\sqrt{3}$ cm idi.

  Ağırlık merkezinin bir köşeye olan uzaklığı = $\frac{2}{3} \times h$

  Uzaklık = $\frac{2}{3} \times 6\sqrt{3}$

  Uzaklık = $2 \times 2\sqrt{3}$

  Uzaklık = $4\sqrt{3}$ cm

Böylece, kenar uzunluğu $12$ cm olan bir eşkenar üçgenin ağırlık merkezinin bir köşeye uzaklığının $4\sqrt{3}$ cm olduğunu bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.