Üçgende açıortay nedir Test 1

ABC dik üçgeninde [AD] açıortaydır. AB ⊥ BC, |AB| = 6 cm, |AC| = 10 cm'dir. Buna göre |BD| kaç cm'dir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim. Bir dik üçgen ve bir açıortay verildiğinde genellikle Pisagor Teoremi ve Açıortay Teoremi'ni kullanırız.

• Adım 1: Üçgenin Eksik Kenar Uzunluğunu Bulma
• ABC dik üçgeninde, dik açı B noktasındadır ($AB \perp BC$). Kenar uzunlukları $|AB| = 6$ cm ve $|AC| = 10$ cm olarak verilmiştir. Üçgenin üçüncü kenarı olan $|BC|$ uzunluğunu Pisagor Teoremi'ni kullanarak bulabiliriz.
• Pisagor Teoremi: Hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir. Yani, $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$.
• Verilen değerleri yerine yazalım: $6^2 + |BC|^2 = 10^2$.
• Hesaplayalım: $36 + |BC|^2 = 100$.
• $|BC|^2 = 100 - 36$.
• $|BC|^2 = 64$.
• Her iki tarafın karekökünü alalım: $|BC| = \sqrt{64} = 8$ cm.
• Şimdi tüm kenar uzunluklarını biliyoruz: $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm, $|AC| = 10$ cm.
• Adım 2: Açıortay Teoremi'ni Uygulama
• [AD] doğru parçası, A açısının açıortayıdır. Açıortay Teoremi'ne göre, bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.
• Yani, $\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|CD|}$ eşitliği geçerlidir.
• Adım 3: Bilinmeyeni Yerine Koyma ve Denklemi Kurma
• Bizden $|BD|$ uzunluğu isteniyor. $|BD| = x$ diyelim.
• Toplam $|BC|$ uzunluğu $8$ cm olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu $8 - x$ olacaktır.
• Açıortay Teoremi'ndeki yerlerine yazalım: $\frac{6}{x} = \frac{10}{8 - x}$.
• Adım 4: Denklemi Çözme
• İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:
• $6 \cdot (8 - x) = 10 \cdot x$.
• $48 - 6x = 10x$.
• $-6x$'i eşitliğin sağ tarafına atalım: $48 = 10x + 6x$.
• $48 = 16x$.
• Her iki tarafı $16$'ya bölelim: $x = \frac{48}{16}$.
• $x = 3$.
• Yani, $|BD| = 3$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.