Bir araç A(2, 3) noktasından B(8, 7) noktasına doğrusal bir yolda gidiyor. Araç C(5, 5) noktasına geldiğinde toplam yolun kaçta kaçını tamamlamış olur?
A) 1/4
B) 1/2
C) 2/3
D) 3/4
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir aracın koordinat düzleminde doğrusal bir yolda ilerlemesini inceliyoruz. Aracın katettiği mesafeleri hesaplayarak toplam yolun ne kadarını tamamladığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: İki Nokta Arasındaki Mesafeyi Hatırlayalım
- Koordinat düzleminde $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık formülü şöyledir: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Bu formülü kullanarak aracın katettiği mesafeleri hesaplayacağız.
- 2. Adım: A noktasından C noktasına kadar olan mesafeyi (AC) hesaplayalım
- Aracın başlangıç noktası $A(2, 3)$ ve ulaştığı nokta $C(5, 5)$'tir.
- $AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 3)^2}$
- $AC = \sqrt{(3)^2 + (2)^2}$
- $AC = \sqrt{9 + 4}$
- $AC = \sqrt{13}$ birimdir.
- 3. Adım: A noktasından B noktasına kadar olan toplam mesafeyi (AB) hesaplayalım
- Aracın başlangıç noktası $A(2, 3)$ ve hedef noktası $B(8, 7)$'dir.
- $AB = \sqrt{(8 - 2)^2 + (7 - 3)^2}$
- $AB = \sqrt{(6)^2 + (4)^2}$
- $AB = \sqrt{36 + 16}$
- $AB = \sqrt{52}$ birimdir.
- $\sqrt{52}$ ifadesini sadeleştirebiliriz: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$ birimdir.
- 4. Adım: Tamamlanan yolun toplam yola oranını bulalım
- Araç C noktasına geldiğinde tamamladığı yol AC mesafesidir. Toplam yol ise AB mesafesidir.
- Oran = $ rac{AC}{AB}$
- Oran = $ rac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}$
- $\sqrt{13}$ ifadeleri birbirini götürdüğünde geriye kalan:
- Oran = $ rac{1}{2}$
Yani araç C noktasına geldiğinde toplam yolun $ rac{1}{2}$'sini (yarısını) tamamlamış olur.
Cevap B seçeneğidir.
